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$S_J$ तथा $S_2$ दो उपग्रह किसी ग्रह के चारों ओर समतलीय संकेन्द्रीय वृत्तीय (coplanar circular concentric) कक्षाओं में परस्पर विपरीत दिशाओं में घूम रहे हैं| $t=0$ समय पर दोनों उपग्रह एक दूसरे से सबसे ज्यादा दूरी पर है। $S_I$ तथा $S_2$ के आवर्त काल क्रमशः $3 \,h$ एवं $24 \,h$ है। $S_I$ की वृत्तीय कक्षा की त्रिज्या $3 \times 10^4$ कि.मी. है। तब उपग्रह $S_2$ का कक्षीय चाल (orbital speed)
ग्रह के सापेक्ष $4 \pi \times 10^4 \,km h ^{-1}$ होगा जब उपग्रह $S_2$ उपग्रह $S_1$ के सबसे करीब होगा।
ग्रह के सापेक्ष $2 \pi \times 10^4 \,km h ^{-1}$ होगा जब उपग्रह $S_2$ उपग्रह $S_1$ से सबसे दूर होगा।
$S_t$ के सापेक्ष $\pi \times 10^4 \,km h ^{-1}$ होगा जब $S_2$ उपग्रह $S_1$ के सबसे करीब होगा।
$S_l$ के सापेक्ष $3 \pi \times 10^4 \,km h ^{-1}$ होगा जब $S_2$ उपग्रह $S_1$ के सबसे करीब होगा
Solution
$(d)$ From Kepler's law, we have
$T^{2} \propto R^{3}$
So, for satellites $S_{1}$ and $S_{2}$ is
$\Rightarrow \quad\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}$
Radius of orbit of satellite $S_{2}$ around planet is
$R_{2}=\left(\frac{T_{2}^{2} \times R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=\left(\frac{24 \times 24 \times\left(3 \times 10^{4}\right)^{3}}{3 \times 3}\right)^{\frac{1}{3}}$
$=4 \times 3 \times 10^{4} \,km$
$=12 \times 10^{4} \,km$
When satellites are closest to each other, orbital speed of $S_{2}$ as observed from $S_{1}$ is
$v_{\text {relative }} =v_{1}+v_{2}$
$=R_{1} \omega_{1}+R_{2} \omega_{2}$
$=R_{1} \times \frac{2 \pi}{T_{1}}+R_{2} \times \frac{2 \pi}{T_{2}}$
$=3 \times 10^{4} \times \frac{2 \pi}{3}+12 \times 10^{4} \times \frac{2 \pi}{24}$
$=2 \pi \times 10^{4}+\pi \times 10^{4}$
$=3 \pi \times 10^{4} \,kmh ^{-1}$
