टेबल टेनिस की एक गेंद की त्रिज्या $(3 / 2) \times 10^{-2} m$ तथा द्रव्यमान $(22 / 7) \times 10^{-3} kg$ है। इसे एक तरण ताल (swimming pool) में धीरे-धीरे पानी की सतह से गहराई $d=0.7 m$ तक ले जाकर स्थिर अवस्था से छोड़ते हैं। यह गेंद, बिना पानी से भीगे हुए, पानी की सतह से चाल $v$ से बाहर आती है और ऊंचाई $H$ तक जाती है। निम्न में से कौन सा/से विकल्प सही है(हैं)?

[दिया है: $\pi=22 / 7, g=10 ms ^{-2}$, पानी का घनत्व $=1 \times 10^3 kg m ^{-3}$,

पानी की श्यानता (viscosity) $=1 \times 10^{-3} Pa – s$ ]

$(A)$ गेंद को गहराई $d$ तक ले जाने में किया गया कार्य $0.077 \ J$ है।

$(B)$ यदि पानी में लगे श्यान बल को नगण्य मानें तो चाल $v=7 m / s$ है।

$(C)$ यदि पानी में लगे श्यान बल को नगण्य मानें तो ऊँचाई $H=1.4 \ m$ है।

$(D)$ पानी में, श्यान बल को छोड़कर, लगे कुल बल के परिमाण का अधिकतम श्यान बल के सापेक्ष अनुपात 500/9 है।

त्रिज्या $0.1\,mm$ तथा $10^4\,kg m ^{-3}$ घनत्व वाली एक छोटी गोलीय गेंद पानी की टंकी में प्रवेश करने से पूर्व गुरूत्व के अधीन $h$ दूरी से मुक्त रूप से गिरती है। यदि पानी में गिरने के बाद इसका वेग नहीं बदलता है तथा यह समान नियत वेग से पानी अन्दर गति करती है, तो $h$ का मान $m$ में ज्ञात कीजिये ।(दिया है $g =10\,ms ^{-2}$,पानी की श्यानता $=1.0 \times 10^{-5}\,N – sm ^{-2}$ )

एक एकसमान घनत्व के तरल के गोलाकार पिंड की त्रिज्या $R$ है तथा यह अपने स्वयं के गुरूतव के प्रभाव में साम्यावस्था में है। यदि इसके केन्द्र से दूरी $r(r < R)$ पर दाव $P(r)$ है, तव सही विकल्प है (हैं)

$(A)$ $P ( I =0)=0$ $(B)$ $\frac{ P ( r =3 R / 4)}{ P ( r =2 R / 3)}=\frac{63}{80}$

$(C)$ $\frac{ P ( r =3 R / 5)}{ P ( r =2 R / 5)}=\frac{16}{21}$ $(D)$ $\frac{ P ( r = R / 2)}{ P ( r = R / 3)}=\frac{20}{27}$

बराबर त्रिज्या वाले दो गोलों $P$ तथा $Q$ के घनत्व क्रमशः $\rho_1$ तथा $\rho_2$ है। गोलों को एक द्रव्यमान रहित डोरी से जोड़कर $\sigma_1$ एव $\sigma_2$ घनत्व वाले तथा $\eta_1$ एवं $\eta_2$ श्यानता गुणाकों वाले द्रवों $L_1$ एवं $L_2$ में डाला जाता है। साम्यावस्था में गोला $P$ द्रव $L_1$ में तथा $Q$ द्रव $L_2$ में तैरता है तथा डोरी तनी रहती है (चित्र देखें)। यदि गोले $P$ को अलग से $L_2$ में डालने पर उसका सीमांत वेग $\bar{V}_P$ होता है और गोले $Q$ का $L _1$ में अलग से डालने पर सीमांत वेग $\bar{V}_Q$ है, तव

$(A)$ $\frac{\left|\overrightarrow{ V }_{ P }\right|}{\left|\overrightarrow{ V }_{ Q }\right|}=\frac{\eta_1}{\eta_2}$ $(B)$ $\frac{\left|\overrightarrow{ V }_{ P }\right|}{\left|\overrightarrow{ V }_{ Q }\right|}=\frac{\eta_2}{\eta_1}$

$(C)$ $\overrightarrow{ V }_{ P } \cdot \overrightarrow{ V }_{ Q } > 0$ $(D)$ $\overrightarrow{ V }_{ P } \cdot \overrightarrow{ V }_{ Q } < 0$

सांकेतिक चित्र में दर्शाए अनुसार, दो पात्रों में पोटेशियम परमेंगनेट $\left( KMnO _4\right)$ के जल विलयन (तापमान $T$ पर) निहित है, जिनमें प्रति इकाई आयतन अणुओं की भिन्न-भिन्न सांद्रता $n _1$ व $n _2\left( n _1> n _2\right)$ है जबकि $\Delta n =\left( n _1- n _2\right) \ll n _1$ है। जब इन्हें कम लम्बाई $\ell$ व अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $S$ की नलिका द्वारा संयोजित किया जाता है, $KMnO _4$ नलिका से होते हुए बाँये से दाँये पात्र में विसरित होना प्रारम्भ करता है। माना अणुओं का संग्रह तनु आदर्श गैसों की भाँति व्यवहार करता है तथा दोनों पात्रों में इनके आंशिक दाब में अंतर के कारण विसरण होता है। अणुओं की चाल $v$ को प्रत्येक अणु पर श्यान बल $-\beta v$ द्वारा सीमित किया जाता है, जहाँ $\beta$ एक नियतांक है। $(\Delta n )^2$ कोटी के सभी पदों को नगण्य मानते हुए, निम्नलिखित में से कौनसा/कौनसे सही है/हैं? ( $k _{ B }$ बोल्ट्जमान नियतांक है)

$(A)$ नलिका के पार गति करने वाले अणुओं के कारण बल $\Delta nk _{ B } TS$ है।

$(B)$ बल संतुलन का अभिप्राय है $n _1 \beta v \ell=\Delta nk _{ B } T$

$(C)$ प्रति सेकण्ड नलिका के पार जाने वाले अणुओं की कुल संख्या $\left(\frac{\Delta n}{\ell}\right)\left(\frac{k_B T}{\beta}\right) S$ है

$(D)$ नलिका से स्थानान्तरित होने वाले अणुओं की दर समय के साथ परिवर्तित नहीं होती है।