निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है।

माना $\alpha$ तथा $\beta$ समीकरण $x ^{2}+ x +1=0$ के मूल हैं, तो $R$ में $y \neq 0$ के लिए $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{y\, + \,1}&\alpha &\beta \\
\alpha &{y\, + \,\beta }&1\\
\beta &1&{y\, + \,\alpha }
\end{array}} \right|$ बराबर है:

रेखीय समीकरण निकाय $x + y + z = 2$, $2x + y - z = 3,$ $3x + 2y + kz = 4$ अद्वितीय हल रखता है, यदि

यदि समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&3&7\\2&x&{ - 2}\\7&8&x\end{array}\,} \right| = 0$,का एक मूल $ 5$  हो, तो समीकरण के अन्य दो मूल होंगे

माना $A (1, \alpha), B (\alpha, 0)$ तथा $C (0, \alpha)$ शीर्षो वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है। यदि बिन्दु $(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$ तथा $\left(\alpha^2, \beta\right)$ संरेखीय हो, तो $\beta$ का मान होगा

$\lambda$ के वास्तविक मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$2 x -3 y +5 z =9$

$x +3 y - z =-18$

$3 x - y +\left(\lambda^2-|\lambda|\right) z =16$

का कोई हल नहीं है, की संख्या है :-