જેનાં નાભિઓ $(0,\,±12)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $36$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો.
જેનાં નાભિઓ $(0,\,±12)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $36$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો.
since foci are $(0,\,±12)$ , it follows that $c=12$
Length of the latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=36$ or $b^{2}=18 a$
Therefore $c^{2}=a^{2}+b^{2}$; gives
$144=a^{2}+18 a$
i.e. $a^{2}+18 a-144=0$
So $a=-24,6$
since $a$ cannot be negative, we take $a=6$ and so $b^{2}=108$.
Therefore, the equation of the required hyperbola is $\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{108}=1,$ i.e., $3 y^{2}-x^{2}=108$
Similar Questions
જો અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ તથા તેની નાભી બિંદુ $(-3, 0)$ પર હોય તો નીચેનામાંથી ક્યું બિંદુ અતિવલય પર આવેલ નથી.?
જો અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ તથા તેની નાભી બિંદુ $(-3, 0)$ પર હોય તો નીચેનામાંથી ક્યું બિંદુ અતિવલય પર આવેલ નથી.?
- [JEE MAIN 2019]
જો અતિવલય એ બિંદુ $\mathrm{P}(10,16)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું શિરોબિંદુ $(\pm 6,0)$ હોય તો બિંદુ $P$ આગળના અભિલંભનું સમીકરણ મેળવો.
જો અતિવલય એ બિંદુ $\mathrm{P}(10,16)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું શિરોબિંદુ $(\pm 6,0)$ હોય તો બિંદુ $P$ આગળના અભિલંભનું સમીકરણ મેળવો.
- [JEE MAIN 2020]
ધારો કે $a >0$ અને $b >0$ આપેલ છે. તથા અતિવલય $\frac{x^{2}}{ a ^{2}}-\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e$ અને $l$ છે. ધારો કે, તેના અનુબદ્ધ અતિવલય ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e ^{\prime}$ અને $l$ ' છે. જે $e ^{2}=\frac{11}{14} l$ અને $\left( e ^{\prime}\right)^{2}=\frac{11}{8} l^{\prime}$ હોય, તો $77 a +44 b$ ની કિમત.............. છે.
ધારો કે $a >0$ અને $b >0$ આપેલ છે. તથા અતિવલય $\frac{x^{2}}{ a ^{2}}-\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e$ અને $l$ છે. ધારો કે, તેના અનુબદ્ધ અતિવલય ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e ^{\prime}$ અને $l$ ' છે. જે $e ^{2}=\frac{11}{14} l$ અને $\left( e ^{\prime}\right)^{2}=\frac{11}{8} l^{\prime}$ હોય, તો $77 a +44 b$ ની કિમત.............. છે.
- [JEE MAIN 2022]
જો અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ અને $x -$ અક્ષ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.
જો અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ અને $x -$ અક્ષ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.
- [JEE MAIN 2019]
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 16$ ની જીવાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો. જે અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ નો સ્પર્શક હોય.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 16$ ની જીવાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો. જે અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ નો સ્પર્શક હોય.