$(a)$ एक निर्वात नली के तापित कैथोड से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उस चाल का आकलन कीजिए जिससे वे उत्सर्जक की तुलना में $500\, V$ के विभवांतर पर रखे गए एनोड से टकराते हैं। इलेक्ट्रॉनों के लघु प्रारंभिक चालों की उपेक्षा कर दें। इलेक्ट्रॉन का आपेक्षिक आवेश अर्थात $e / m 1.76 \times 10^{11} \,C kg ^{-1}$ है।

$(b)$ संग्राहक विभव $10\, MV$ के लिए इलेक्ट्रॉन की चाल ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का प्रयोग करें, जो $(a)$ में काम में लाया गया है। क्या आप इस सूत्र को गलत पाते हैं? इस सूत्र को किस प्रकार सुधारा जा सकता है?

$(a)$ Potential difference across the evacuated tube, $V=500\, V$

Specific charge of an electron, $e / m$ $=1.76 \times 10^{11}\, C\,kg ^{-1}$

The speed of each emitted electron is given by the relation for kinetic energy as

Therefore, the speed of each emitted electron is $K E=\frac{1}{2} m v^{2}=e v$

$\therefore v=\left(\frac{2 e V}{m}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2 V \times \frac{e}{m}\right)^{\frac{1}{2}}$

$=\left(2 \times 500 \times 1.76 \times 10^{11}\right)^{\frac{1}{2}}=1.366 \times 10^{7}\, m / s$

$(b)$ Potential of the anode, $V=10 \,MV =10 \times 10^{6} \,V =10^{7}$

The speed of each electron is given as

$v=\left(2 V \frac{e}{m}\right)^{\frac{1}{2}}$

$=\left(2 \times 10^{7} \times 1.76 \times 10^{11}\right)^{\frac{1}{2}}$

$=1.88 \times 10^{9} \,m / s$

This result is wrong because nothing can move faster than light. In the above formula, the

expression $(mv^{2}/2)$ for energy can only be used in the non-relativistic limit, i.e., for $\mathrm { v } < < \mathrm { c }$

For very high speed problems, relativistic equations must be considered for solving them. In the relativistic limit, the total energy is given as:

$E = mc ^{2}=m_{0}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} Where$

$m =$ Relativistic mass $m _{0}=$ Mass of the particle at rest Kinetic energy is given as:

$K = mc ^{2}- m _{0} c ^{2}$