ધારોકે ત્રિજ્યા $4$ વાળું એક વર્તુળ એ ઉપવલય $15 x^2+19 y^2=285$ સાથે સમકેન્દ્રી છે.તો સામાન્ય સ્પર્શકો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ પર $..........$ જેટલા ખૂણે નમેલ હશે.

ધારો કે $L$ એ વક્રો $4 x^{2}+9 y^{2}=36$ અને $(2 x)^{2}+(2 y)^{2}=31$ ની સામાન્ય સ્પર્શરેખા છે. તો રેખા $L$ ના ઢાળનો વર્ગ ....... થાય.

જો ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 32$ ના બિંદુ $P(2, 2)$ આગળના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x-$ અક્ષને અનુક્રમે બિંદુ $Q$ અને $R$ આગળ છેદે તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ = ............. ચો એકમ 

અહી ઉપવલય $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \mathrm{a}\,>\,\mathrm{b} $ આપેલ છે. અને $\mathrm{E}_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે કે જે  $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શ અને $E_{2}$ ની નાભીઓ $E_{1}$ ની ગૌણઅક્ષના અંત્ય બિંદુ હોય છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રિતા સમાન હોય તો તેની કિમંત મેળવો.

એક ઉપવલય પરનું બિંદુ $(4, -1)$ ને રેખા $x + 4y - 10 = 0$ સ્પર્શેં છે જો તેની અક્ષો યામાક્ષો સાથે સાંપતી હોય, તો તેનું સમીકરણ $(a > b)$

જેના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $20$ હોય અને નાભિઓ $(0,\,\pm 5)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.