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माना कि $S$ एक वृत्त (circle) है जो $x y$-समतल (plane) में समीकरण (equation) $x^2+y^2=4$ के द्वारा परिभाषित है।
($1$) माना कि $E_1 E_2$ और $F_1 F_2$ वृत्त $S$ की ऐसी जीवायें (chords) हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमश: $x$-अक्ष (axis) व $y$-अक्ष के समान्तर (parallel) हैं। माना कि $G_1 G_2, S$ की वह जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता (slope) -$1$ है। माना कि $E_1$ और $E_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ (tangents) $E_3$ पर मिलती हैं, $F_1$ और $F_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $F_3$ पर मिलती हैं, तथा $G_1$ और $G_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $G_3$ पर मिलती हैं। तब वह वक्र (curve) जिस पर बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ स्थित हैं, है
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $x y=4$
($2$) माना कि $P$ वृत्त $S$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक (coordinates) धनात्मक (positive) हैं। माना कि वृत्त $S$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शी (tangent) निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) को बिन्दुओं $M$ और $N$ पर प्रतिच्छेद (intersects) करती है। तब वह वक्र (curve) जिस पर रेखाखंड (line segement) $M N$ का मध्य बिंदु (mid-point) अनिवार्य रूप से स्थित है, है
$(A)$ $(x+y)^2=3 x y$ $(B)$ $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=2^{4 / 3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2 x y$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2 y^2$
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$
$A,D$
$A,B$
$A,C$
$A,B,C$
Solution
(Image)
($1$) $E_1(-\sqrt{3}, 1), E_2(\sqrt{3}, 1), F_1(1, \sqrt{3}), F_2(1,-\sqrt{3}), G_1(0,2), G_2(2,0)$
Tangent at $\quad E_2(\sqrt{3}, 1)$ is $\quad x \sqrt{3}+ y =4$
$E _1(-\sqrt{3}, 1) \text { is } \quad- x \sqrt{3}+ y =4$
Solving $(0,4)=E_3$
Similarly $(4,0)= F _3$
$(2,2)=G_3$
$E _3, F _3, G _3$ satisfy option $(A)$
($2$) Tangent $x \cos \theta+y \sin \theta=2$
$M \left(\frac{2}{\cos \theta}, 0\right), N \left(0, \frac{2}{\sin \theta}\right)$Let $P ( h , k )$ mid point of $M$ and $N$
$P ( h , k )=\left(\frac{\frac{2}{\cos \theta}+0}{2}, \frac{0+\frac{2}{\sin \theta}}{2}\right)$
$\therefore \cos \theta=\frac{1}{ h }, \quad \sin \theta=\frac{1}{ k }$
$\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1$
$\frac{1}{ h ^2}+\frac{1}{ k ^2}=1$
$h ^2+ k ^2= h ^2 k ^2$
Locus $x ^2+ y ^2= x ^2 y ^2$
