संख्याओं $x$ व $y$ के मध्य $a,\,g,\,h$ क्रमश: समांतर माध्य, गुणोत्तर माध्य तथा हरात्मक माध्य हैं, तब निम्न कथन सत्य होगा

यदि $a, b$ ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं कि रेखाएँ $a x+9 y=5$ और $4 x+b y=3$ समानान्तर हैं, तब $a+b$ का न्यूनतम संभव मान है

माना एक भिन्न पदों की $A.P.$ का दूसरा, आठवाँ तथा चवालिसवाँ पद, एक $G.P.$ के क्रमशः पहला, दूसरा तथा तीसरा पद है। यदि $A.P.$ का प्रथम पद $1$ है, तो इसके प्रथम $20$ पदों का योग है।

मान लीजिये कि $n \geq 3$ एक स्थिर पूर्णांक है और $\sigma=\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ क्रमानुसार सूची $(1,2, \ldots, n)$ का एक क्रमचय है। इस क्रमचय $\sigma$ के संगतित $f_\sigma(x)=a_n x^{n-1}+a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_2 x+a_1$ एक बहुपद है। यदि समीकरण $f_\sigma(x)=0$ के शून्यकों का योग $S_\sigma$ है और इस प्रकार प्राप्त हुई सभी संख्याओ $S_\sigma$ का योग $S$ है, तो

माना $x, y, z$ ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं कि, $x+y+z=12$ तथा $x^{3} y^{4} z^{5}=(0.1)(600)^{3}$ है, तो $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ बराबर है

माना $a, b, c>1$ है, $a^3, b^3$ व $c^3$ समान्तर श्रेढो में तथा $\log _a b, \log _c a$ व $\log _b c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में है। यदि समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम $20$ पदों का योग, जिसका प्रथम पद $\frac{a+4 b+c}{3}$ है तथा सार्वअंतर $\frac{a-8 b+c}{10}$ है, $-444$ है। तब $a b c$ बराबर है :