{C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(a) ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_r}{x^r} + ....$ &hellip;..$(i)$

${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\fr

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{(2n)!}}{{(n - r)\,!\,(n + r)!}}$

Vedclass · Answer

(a) ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_r}{x^r} + ....$ &hellip;..$(i)$

${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\frac{1}{x} + {C_2}\frac{1}{{{x^2}}} + ..... + {C_r}\frac{1}{{{x^r}}} + ....$ &hellip;..$(ii)$

Multiplying both sides and equating coefficient of ${x^r}$in $\frac{1}{{{x^n}}}{(1 + x)^{2n}}$or the coefficient of ${x^{n + r}}$in ${(1 + x)^{2n}}$ we get the value of required expression = $^{2n}{C_{n + r}} = \frac{{(2n)\,!}}{{(n - r)\,!\,(n + r)\,!}}$

Trick : Solving conversely.

Put $n = 1$ and $r = 0$ in first term , (given condition)

$(i)$ $^1{C_0}^1{C_0}{ + ^1}{C_1}^1{C_1} = 1 + 1 = 2$ ,    

$(r \le n)$ Put $n = 2,r = 1$, then

$(ii)$ $^2{C_0}^2{C_1}{ + ^2}{C_1}^2{C_2} = 2 + 2 = 4$

Now check the options

$(a)$ $(i)$ Put $n = 1,r = 0$, we get $\frac{{2!}}{{(1)!\,\,(1)!}} = 2$

$(ii)$ Put $n = 2,r = 1$, we get $\frac{{4!}}{{(1)\,!\,\,(3)\,!}} = 4$

${C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + 2}} + .... + {C_{n - r}}{C_n}$=

Similar Questions

જો બધા ધન પૂર્ણાંક $r> 1, n > 2$ માટે $( 1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ની ઘાત $(3r)$ અને $(r + 2)$ ના સહગુણક સરખા હોય તો $n$ ની કિમત મેળવો.

શ્રેણી $\frac{{{C_0}}}{2} - \frac{{{C_1}}}{3} + \frac{{{C_2}}}{4} - \frac{{{C_3}}}{5} + $..... ના $(n + 1)$ પદનો સરવાળો કરો.

${C_1} + 2{C_2} + 3{C_3} + 4{C_4} + .... + n{C_n} = $

${(x + a)^n}$ ના વિસ્તરણમાં , $A$ એ અયુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે અને $B$ એ યુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે તો . . . ..