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${C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + 2}} + .... + {C_{n - r}}{C_n}$=
$\frac{{(2n)!}}{{(n - r)\,!\,(n + r)!}}$
$\frac{{n!}}{{( - r)!(n + r)!}}$
$\frac{{n!}}{{(n - r)!}}$
इनमें से कोई नहीं
Solution
${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + …. + {C_r}{x^r} + ….$ …..$(i)$
${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\frac{1}{x} + {C_2}\frac{1}{{{x^2}}} + ….. + {C_r}\frac{1}{{{x^r}}} + ….$ …..$(ii)$
दोनों समीकरणों का गुणा करके ${x^r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर अभीष्ट व्यंजक का मान ${ = ^{2n}}{C_{n + r}} = \frac{{(2n)\,!}}{{(n – r)\,!\,(n + r)\,!}}$ प्राप्त होता है।
ट्रिक :
$n = 1$ व $r = 0$ पहले पद में रखने पर (दिये गये प्रतिबंध में)
$(i)$ $^1{C_0}^1{C_0}{ + ^1}{C_1}^1{C_1} = 1 + 1 = 2$ ,
$n = 2,r = 1$ रखने पर
$(ii)$ $^2{C_0}^2{C_1}{ + ^2}{C_1}^2{C_2} = 2 + 2 = 4$
अब विकल्पों से परीक्षण करने पर
$(a)$ $(i)$ $n = 1,r = 0$ रखने पर $\frac{{2!}}{{(1)!\,\,(1)!}} = 2$
$ (ii)$ $n = 2,r = 1$ रखने पर $\frac{{4!}}{{(1)\,!\,\,(3)\,!}} = 4$]
नोट : विद्यार्थी इस प्रष्न को सर्वसमिका की तरह याद रखें।
