{C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + | vedclass

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Question

${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_r}{x^r} + ....$         &hellip;..$(i)$

${\left( {1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{(2n)!}}{{(n - r)\,!\,(n + r)!}}$

Vedclass · Answer

${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_r}{x^r} + ....$         &hellip;..$(i)$

${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}\frac{1}{x} + {C_2}\frac{1}{{{x^2}}} + ..... + {C_r}\frac{1}{{{x^r}}} + ....$ &hellip;..$(ii)$

दोनों समीकरणों का गुणा करके ${x^r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर अभीष्ट व्यंजक का मान ${ = ^{2n}}{C_{n + r}} = \frac{{(2n)\,!}}{{(n - r)\,!\,(n + r)\,!}}$ प्राप्त होता है।

ट्रिक :

$n = 1$ व $r = 0$ पहले पद में रखने पर (दिये गये प्रतिबंध में)

$(i)$ $^1{C_0}^1{C_0}{ + ^1}{C_1}^1{C_1} = 1 + 1 = 2$    ,

$n = 2,r = 1$ रखने पर

$(ii)$ $^2{C_0}^2{C_1}{ + ^2}{C_1}^2{C_2} = 2 + 2 = 4$

अब विकल्पों से परीक्षण करने पर

$(a)$ $(i)$ $n = 1,r = 0$ रखने पर $\frac{{2!}}{{(1)!\,\,(1)!}} = 2$

     $ (ii)$ $n = 2,r = 1$ रखने पर $\frac{{4!}}{{(1)\,!\,\,(3)\,!}} = 4$]

नोट : विद्यार्थी इस प्रष्न को सर्वसमिका की तरह याद रखें।

${C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + 2}} + .... + {C_{n - r}}{C_n}$=

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बहुपद $(x - 1)(x - 2)(x - 3).............(x - 100),$ में ${x^{99}}$ का गुणांक होगा

$(1+x)^{n+2}$ के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांकों का योगफल, जो $1: 3: 5$ अनुपात में है, होगा

$\frac{{{C_1}}}{{{C_0}}} + 2\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} + 3\frac{{{C_3}}}{{{C_2}}} + .... + 15\frac{{{C_{15}}}}{{{C_{14}}}} = $

$\left(x+\sqrt{x^{3}-1}\right)^{5}+\left(x-\sqrt{x^{3}-1}\right)^{5},(x>1)$ के प्रसार में सभी विषम घातों वाले पदों के गुणांकों का योग है