$2{C_0} + \frac{{{2^2}}}{2}{C_1} + \frac{{{2^3}}}{3}{C_2} + .... + \frac{{{2^{11}}}}{{11}}{C_{10}}$= . . 

શ્રેણી $^{100}{C_1}\,{2^8}.\,{\left( {1\, - \,x} \right)^{99}}\, + {\,^{100}}{C_2}\,{2^7}.\,{\left( {1\, - \,x} \right)^{98}}\, + {\,^{100}}{C_3}\,{2^6}.\,{\left( {1\, - \,x} \right)^{97}}\, + \,....\, + {\,^{100}}{C_9}\,{\left( {1\, - \,x} \right)^{91}}$ માં $x^{91}$ નો સહગુનક મેળવો 

જો ${\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $28$ છે,તો આ વિસ્તરણમાંના બધાજ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો . . . . છે. 

અહી ${ }^{n} C_{r}$ એ $(1+ x )^{ n }$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ નો સહગુણક દર્શાવે છે. જો $\sum_{ k =0}^{10}\left(2^{2}+3 k \right){ }^{ n } C _{ k }=\alpha .3^{10}+\beta \cdot 2^{10}, \alpha, \beta \in R$ તો $\alpha+\beta$ ની કિમંત મેળવો.

$\sum \limits_{ r =0}^{22}{ }^{22} C _{ r }{ }^{23} C _{ r }$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

જો $\left(x^{n}+\frac{2}{x^{5}}\right)^{7}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ધન ધાતવાળા તમામ $x$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $939$ હોય, તો $n$ ની તમામ શક્ય પૂણાંક કિંમતોનો સરવાળો $\dots\dots\dots$ છે.