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$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = $
${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$
${a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc$
$(a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a)$
इनमें से कोई नहीं
Solution
$\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\a&b&c\\{{a^3}}&{{b^3}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right|$= 0, जबकि $a = b,\,b = c,\,c = a$
अत: $(a – b),\,(b – c),\,(c – a)$ समीकरण के गुणनखण्ड हैं। चूँकि सारणिक $a,b,c$ में सममित है एवं चतुर्थ घात का है अत: $(a + b + c)$ भी इसका गुणनखण्ड है।
अत:, $\Delta$ $=\,k(a – b),(b – c),(a + b + c)$ ……$(i)$
समीकरण $(i)$ में $b{c^3}$ की दोनों पक्षों में तुलना करने पर, $1 = k( – 1)\,( – 1) \Rightarrow k = 1$
$\Delta$ = $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) $
ट्रिक: $a = 1,\,b = 2,\,c = 3$ रखने पर,
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&2&3\\1&8&{27}\end{array}\,} \right| = 1(30) – 1(24) + 1(8 – 2) = 12$, जो विकल्प $ (c)$ द्वारा प्राप्त होता है।
अर्थात्, $(1 + 2 + 3)\,(1 – 2)\,(2 – 3)(3 – 1) = 12$.
