- Home
- Standard 11
- Mathematics
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n$ હોય, જેનું પ્રથમ $a$ પદ અને સામાન્ય ગુણોતર $r$ તો $S_1 + S_3 + S_5 + … + S_{2n-1}$ નો સરવાળો કેટલો થાય ?
$\frac{{2a}}{{1 - r}}\,\left[ {n - r.\,\frac{{1\, - \,{r^{2n}}}}{{1\, - \,{r^2}}}} \right]$
$\frac{{3a}}{{1 - r}}\,\left[ {n - r.\,\frac{{1\, - \,{r^{2n}}}}{{1\, - \,{r^2}}}} \right]$
$\frac{a}{{1 - r}}\,\left[ {n - r.\,\frac{{1\, - \,{r^{2n}}}}{{1\, - \,{r^2}}}} \right]$
આપેલ પૈકી એકપણ નહિ.
Solution
અહીં $\,{{\text{S}}_{\text{n}}}\,=\,\frac{a\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}$
$\therefore \,{{S}_{2n\,-\,1}}\,=\,\frac{a}{1\,-\,r}\,\left[ 1-\,\,{{r}^{2n\,-\,1}} \right]$
$n$ નું મૂલ્ય $1,2,3………..n$ મૂકતાં તેનો સરવાળો કરતાં
$ = \,\frac{a}{{1 – r}}$ ${\text{[(1 + 1 + …..}}{\text{.n}}$ પદો ${\text{) – }}$${\text{(r + }}{{\text{r}}^{\text{3}}}{\text{ + }}{{\text{r}}^{\text{5}}}{\text{ + ……..}}{\text{. n}}$ પદો ${\text{)]}}$ મળે.
$ = \,\frac{a}{{1 – r}}\,\left[ {n\, – \,\frac{{r\,\left\{ {\,1\, – \,{{\left( {{r^2}} \right)}^n}} \right\}}}{{1 – {r^2}}}} \right]\,$
$ = \,\frac{a}{{1 – r}}\,\left[ {n\, – \,r.\,\frac{{1\, – \,{r^{2n}}}}{{1\, – \,{r^2}}}} \right]$
