શ્નેણી frac{1}{2} + frac{3}{4} + frac{7}{8} + frac{{15}}{{16}} + ......... n પ?

English

Gujarati

Hindi

8. Sequences and Series

medium

શ્નેણી $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{{15}}{{16}} + .........$ $n$ પદનો સરવાળો મેળવો.

${2^n} - n - 1$

$1 - {2^{ - n}}$

$n + {2^{ - n}} - 1$

${2^n} - 1$

(IIT-1988)

Solution

${S_n} = \left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + \left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {1 – \frac{1}{{{2^3}}}} \right) + \left( {1 – \frac{1}{{{2^4}}}} \right)+$$ …… + \left( {1 – \frac{1}{{{2^n}}}} \right)$

$ = n – \left\{ {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ….. + \frac{1}{{{2^n}}}} \right\}$

= $n – \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 – \frac{1}{{{2^n}}}}}{{1 – \frac{1}{2}}}} \right) = n – \left( {1 – \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = n – 1 + {2^{ – n}}$.

Trick : Check for $n = 1,\;2\;$

$i.e.$ ${S_1} = \frac{1}{2},\;{S_2} = \frac{5}{4}$

and $(c)$ $ \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{2}$

and ${S_2} = 2 + {2^{ – 2}} – 1 = \frac{5}{4}$.

Standard 11

Mathematics

જો $a, b$ અને $c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીની ત્રણ ભિન્ન સંખ્યા છે અને $a + b + c = xb$ થાય તો $x$ ની કિમત …… હોઈ શકે નહીં.

hard

(JEE MAIN-2019)

$\sqrt 3 \, + \,\frac{1}{{\sqrt 3 }}\, + \,\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\, + \,…..\,$ શ્રેણીના પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

easy

જો $\sum\limits_{{\text{r}}\, = \,{\text{1}}}^\infty {\frac{1}{{{{(2r\, – \,1)}^2}}}\,\, = \,\,\frac{{{\pi ^2}}}{8}} $ હોય, તો $\,\sum\limits_{{\text{r}}\, = \,{\text{1}}}^\infty {\frac{1}{{{r^2}}}\,\, = \,\,………} $

hard

જો સમગુણોતર શ્રેણીનું ત્રીજુ પદએ $4$ હોય તો પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર મેળવો.

easy

(IIT-1982)

જેનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $-4$ હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણુ હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી શોધો.