જો $a, b, c, d$ અને $p$ એ શૂન્યેતર ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યા એવી મળે કે જેથી  $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+ cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}+ d ^{2}\right)=0$ થાય તો 

એક માણસ તેના ચાર મિત્રોને પત્ર લખે છે. તે દરેકને સૂચના આપે છે કે આ પત્ર તેમના અન્ય ચાર મિત્રોને મોકલે અને તેમને પણ આ જ પ્રમાણેની સાંકળ આગળ વધારવાની છે. માની લઈએ કે આ સાંકળ તૂટતી નથી અને દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ $50$ પૈસા આવે છે, તો $8$ મી વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ શોધો. 

જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S$, ગુણાકાર $P$ અને પ્રથમ $n$ પદોનાં વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો $R$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$

બૅક્ટરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બૅક્ટરિયાની સંખ્યા $30$ હોય, તો $2$ કલાક, $4$ કલાક, અને $n$ માં કલાકે બૅક્ટરિયાની સંખ્યા શોધો.

શ્રેણીઓ $a,$ $ar,$ $a r^{2},$ $……a r^{n-1}$ અને $A, A R, A R^{2}, \ldots, A R^{n-1}$ નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.