સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$ પ્રથમ $n$ પદ

જો $a, b, c$, અને $ p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\, \leq \,0,$ તો બતાવો કે $a, b, c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

જો ${a_1},{a_2}…,{a_{10}}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદો હોય અને $\frac{{{a_3}}}{{{a_1}}} = 25$ થાય તો $\frac {{{a_9}}}{{{a_{  5}}}}$ ની કિમત મેળવો. 

$3$ અને $81$ વચ્ચે બે સંખ્યામાં ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.

જો ${x_r} = \cos (\pi /{3^r}) – i\sin (\pi /{3^r}),$ (જ્યાં $i = \sqrt{-1}),$ હોય તો $x_1.x_2.x_3……\infty ,$ ની કિમત મેળવો