જો {aₙ} એ ધન સંખ્યાઓની સમગુણોતર શ્રેણીન?

English

Gujarati

Hindi

8. Sequences and Series

medium

જો ${a_n}$ એ ધન સંખ્યાઓની સમગુણોતર શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ છે . જો $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ અને $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $, આપેલ છે કે જેથી $\alpha \ne \beta $, તો સામાન્ય ગુણોતર મેળવો.

A

$\frac{\alpha }{\beta }$

B

$\frac{\beta }{\alpha }$

C

$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} $

D

$\sqrt {\frac{\beta }{\alpha }} $

(IIT-1992)

Solution

(a) Let the G.P. be $a,\;ar,\;a{r^2}…….,$ then

$\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = {a_2} + {a_4} + …….{\rm{upto}}\;100\;{\rm{terms}}$

$ = ar + a{r^3} + …….{\rm{upto}}\;100\;{\rm{terms}}$

$ = ar(1 + {r^2} + {r^4} + ……{r^{198}})$ and $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n – 1}}} = a + a{r^3} + …..{\rm{upto}}\;100\;{\rm{terms}}$

$ = a(1 + {r^2} + …… + {r^{198}})$

Obviously $\frac{\alpha }{\beta } = r$.

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

અહી $a$ અને $b$ ની શુન્યેતર વાસ્તવિક કિમતોની બે જોડો છે i.e. $(a_1,b_1)$ અને $(a_2,b_2)$ જ્યાં $2a+b,a-b,a+3b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય તો $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ ની કિમત મેળવો

normal

એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે અને પ્રથમ પદ $-3$ છે, તો તેનું $7$ મું પદ શોધો.

medium

નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધો :

$5+55+555+\ldots$

hard

સમ ગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ બે પદનો સરવાળો $12$ છે. ત્રીજા અને ચોથા પદનો સરવાળો $48$ છે. ગુણોત્તર શ્રેણીના પદો ક્રમિક રીતે ઘન અને ઋણ છે. તો પ્રથમ પદ કયું હોય ?

hard

જો $\frac{{a + bx}}{{a – bx}} = \frac{{b + cx}}{{b – cx}} = \frac{{c + dx}}{{c – dx}},\left( {x \ne 0} \right)$ હોય તો $a$, $b$, $c$, $d$ એ ……… શ્રેણીમાં છે

normal