મહેશને $6$ મિત્રો છે. તે એક અથવા વધારે મિત્રોને કેટલી રીતે ભોજન માટે આમંત્રણ આપી શકે ?

$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2}\,\left( {\frac{{^{15}{C_r}}}{{^{15}{C_{r - 1}}}}} \right)} $ ની કિમંત મેળવો.

એક પરીક્ષામાં $12$ પ્રશ્નો ધરાવતું પ્રશ્નપત્ર બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે. ભાગ $\mathrm{I}$ માં $5$ પ્રશ્નો અને ભાગ $\mathrm{II}$ માં $7$ પ્રશ્નો આવેલા છે. દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નો પસંદ કરીને વિદ્યાર્થીએ કુલ $8$ પ્રશ્નોના જવાબનો પ્રયત્ન કરવો જરૂરી છે. વિદ્યાર્થી કુલ કેટલા પ્રકારે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકશે ?

છ ભિન્ન નવલકથા અને ત્રણ ડિક્ષનરી માંથી $4$ નવલકથા અને એક ડિક્ષનરીની પસંદગી કરી હારમાં એવી રીતે ગોઠવામાં આવે છે કે જેથી ડિક્ષનરી હંમેશા વચ્ચે રહે છે.તો આ ગોઠવણી . . . . પ્રકારે થઇ શકે.

શબ્દ $'UNIVERSITY'$ ના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બધા સ્વરો ક્રમમાં અને કોઈ પણ સ્વર પેહલો કે અંતિમ ના હોય તેવા કેટલા શબ્દો મળે ? 

$1, 2, 3, 4, 5$ અંકનો ઉપયોગ કરી $24000$ થી મોટી કેટલી સંખ્યા બનાવી શકાય $?$ જ્યારે કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન ન કરવાનું હોય.