$y = 2x$ ને સમાંતર અતિવલય $3x^2 – 2y^2 + 4x – 6y = 0$ ની જીવાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ :

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_1$ છે અને ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\mathrm{e}_2$ છે, ને અતિવલયની નાભીઓમાંથી પસાર થાય છે. તે  $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ હોય, તો $x$-અક્ષને સમાંતર તથા $(0,2)$ માંથી પસાર થતી ઉપવલયની જીવાની લંબાઈ……………….. છે.

અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\alpha }} – \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1$ માટે જો $'\alpha '$ ને બદલવામાં આવે છે તો  . .  ..  અચળ રહે છે .

વક્ર $ y^2 = 8x$  અને  $xy = -1$ ના સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ…..

અતિવલય  $x^2 – 4y^2 = 36 $ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો. જે રેખા  $x – y + 4 = 0 $ ને લંબ છે.