અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 14$ નો નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.

અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે

$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને

$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........

ધારોકે $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અતિવલય છે, જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ અને નાભીલંબની લંબાઈ $4 \sqrt{3}$ છે. ધારોકે $(\alpha, 6), \alpha>0$ એ $H$ પર છે. જો બિંદુ ( $\alpha, 6)$ ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર $\beta$ હોય, તો $\alpha^2+\beta=$............

અતિવલય $4x^2 -5y^2 = 20$ ના રેખા $x -y = 2$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો. 

ધારો કે $\lambda x-2 y=\mu$ એ અતિવલય $a^{2} x^{2}-y^{2}=b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ = ......

$\gamma$ ના કયાં મૂલ્ય માટે રેખા $y = 2x + \gamma $ અતિવલય $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ ને સ્પર્શેં?