વર્તૂળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તૂળનું સમીકરણ

$S_1 +\lambda S_2 = 0$

જેથી, માંગેલ વર્તૂળનું સમીકરણ

$(x^{2} + y^{2} – 8x – 2y + 7) + \lambda (x^{2}+ y^{2} – 4x + 10y + 8) = 0 ……(i)$

$==> x^2 (1 +\lambda ) + y^2(1 + \lambda) – 4x (\lambda + 2) – 2y (1 – 5\lambda ) + 7 + 8\lambda) = 0$

$ \Rightarrow {\rm{ }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ – 4 }}\left( {\frac{{\lambda \,\, + \;\,2}}{{\lambda \, + \;\,1}}} \right)\,\,x\,\, – \,\,2\,\,\left( {\frac{{1\,\, – \,\,5\lambda }}{{\lambda \,\, + \;\,1}}} \right)\,\,\lambda \,\, + \;\,\frac{{7\,\, + \;\,8\lambda }}{{\lambda \,\, + \;\,1}}\,\, = \,\,0$

આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $y-$ અક્ષ આવેલ હોય, તો

આ વર્તુળ ના કેન્દ્રમાં યમાક્ષો $\left( {\frac{{2\lambda \,\, + \;\,4}}{{\lambda \,\, + \;\,1}}\,\,,\,\,\frac{{1\,\, – \,\,5\lambda }}{{\lambda \,\, + \;\,1}}} \right)$ છે

કેન્દ્રનો $x-$ યામ $=0$$\Rightarrow\,\, \lambda= -2$

સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ

$x^{2} + y^{2}+ 22y + 9 = 0$