જો અતિવલય અને તેની અનુબદ્ધ ઉત્કેન્દ્?

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

medium

જો અતિવલય અને તેની અનુબદ્ધ ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને $e'$ હોય, તો $\frac{1}{{{e^2}}}\,\, + \;\,\frac{1}{{e{'^2}}}\,\, = \,\,.......$

$0$

$1$

$2$

આપેલ પૈકી એક પણ નહિ

Solution

ધરોકે અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\,\, = \,\,1\,\,\,……\left( i \right)$

તો તેના અનુબદ્ર$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\, = \,\, – \,\,1\,\,\,\,……..\left( {ii} \right)$

જો અતિવલય $\left( i \right)\,$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય તો

${b^2}\, = \,\,{a^2}\,\,\left( {{e^2}\,\, – \,\,1} \right)$ અથવા $\frac{1}{{{e^2}}}\,\, = \,\,\frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2}\,\, + \;\,{b^2}} \right)}}\,\,\,\,……..\left( {iii} \right)$

તે જ રીતે જો અનુબદ્ર $\left( {ii} \right)\,$ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય તો

${a^2}\, = \,\,{b^2}\,\,\left( {e{'^2}\, – \,\,1} \right)\,\,$ અથવા $\,\frac{1}{{e{'^2}}}\,\, = \,\,\frac{{{b^2}}}{{\left( {{a^2}\,\, + \;\,{b^2}} \right)}}\,\,……..\left( {iv} \right)$

$\left( {iii} \right)$ અને $\left( {iv} \right)$ નો સરવાળો કરતાં

$\frac{1}{{e{'^2}}}\,\, + \;\,\frac{1}{{{e^2}}}\,\, = \;\frac{{{a^2}}}{{{a^2}\,\, + \;\,{b^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{b^2}}}{{{a^2}\,\, + \;\,{b^2}}}\,\, = \,\,1$

Standard 11

Mathematics