જો અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ અને $x -$ અક્ષ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો. 

અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\alpha }}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\,\,\alpha }}\, = \,\,1\,$ માટે જ્યારે $\,\alpha $ બદલાતો હોય ત્યારે નીચેના માંથી કયું પદ અચળ રહે.

ધારોકે $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અતિવલય છે, જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ અને નાભીલંબની લંબાઈ $4 \sqrt{3}$ છે. ધારોકે $(\alpha, 6), \alpha>0$ એ $H$ પર છે. જો બિંદુ ( $\alpha, 6)$ ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર $\beta$ હોય, તો $\alpha^2+\beta=$............

ધારો કે $H$ અતિવલય છે, જેની નાભીઓ $(1 \pm \sqrt{2}, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{2}$ છે. તો તેના નાભીલંબ ની લંબાઈ $..........$ છે.

$\gamma$ ના કયાં મૂલ્ય માટે રેખા $y = 2x + \gamma $ અતિવલય $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ ને સ્પર્શેં?

ઉત્કેન્દ્ર્તા $\mathrm{e}$ વાળા એક અતિવલયનાં નાભિલંબની લંબાઈ તથા નિયામિકાઓ અનુક્મમે $9$ અને $x= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ છે. ધારો કે રેખા $y-\sqrt{3} x+\sqrt{3}=0$ આ અતિવલયને $\left(x_0, y_0\right)$ માં સ્પર્શ છે. જે બિંદુ $\left(x_0, y_0\right)$ ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર $\mathrm{m}$ હોય, તો $4 \mathrm{e}^2+\mathrm{m}=$ ...........