જો અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા બિંદુ $(4, 2)$ માંથી પસાર થતું હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ અને $x -$ અક્ષ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો. 

જો સુરેખા $\,x\cos \,\,\alpha \,\, + \,\,y\,\sin \,\,\alpha \,\, = \,\,p$   એ અતિવલય 

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$ નો સ્પર્શક હોય , તો .....

આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો :  નાભિઓ $(0, \,\pm \sqrt{10}),$ $(2,\,3)$ માંથી પસાર થતાં 

ધારોકે રેખા $L_{1}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ નો સ્પર્શક છે અને ધારો કે $L_{2}$ એ ઉગામબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને લંબ રેખા છે.જો $L_1$ અને $L_2$ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\alpha x^{2}+\beta y^{2}$ હોય તો $\alpha+\beta=\dots\dots\dots$

ધારો કે $P \left(x_0, y_0\right)$ એ અતિવલય $3 x^2-4 y^2=36$ પર નું રેખા. $3 x+2 y=1$ થી સૌથી નજીકનું બિંદુ છે.$\sqrt{2}\left(y_0-x_0\right)=..............$

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ ની નાભી અને અતિવલય $\frac{ x ^{2}}{144}-\frac{ y ^{2}}{\alpha}=\frac{1}{25}$ નાભી  સંપાતી છે તો અતિવલયના નાભીલંભની લંબાઈ મેળવો.