ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ના બિંદુ $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક યામાક્ષોને $A$ અને $B$ બિંદુઓ આગળ છેદે છે. તો $\Delta OAB$ નું ન્યૂનત્તમ ક્ષેત્રફળ મેળવો.

કોઈ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે, જો અતિવલય $x^{2}-y^{2} \sec ^{2} \theta=10$ ની ઉત્કેન્દ્ર્તા એ ઉપવલય $x^{2} \sec ^{2} \theta+y^{2}=5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતાં $\sqrt{5}$ ગણી હોય તો ઉપવલયની નાભીલંબની લંબાઇ શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}\,\, + \;\,1}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}\,\, + \;\,2}}\,\, = \,\,1$ ની ઉત્કેન્દ્રીતા $\frac{1}{{\sqrt 6 }}, $ હોય, તો ઉપવલય નો  નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.

ઉપવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પર બે બિંદુઓ  ${\theta _1}\,$ અને ${\theta _2}$  ની જીવા . .  .  બિંદુ આગળ કાટખૂણે  બનાવે છે. (જો ${\text{tan}}\,\,{\theta _{\text{1}}}\,\tan {\theta _2}\,\, = \,\, - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$  )

જો પરવલય $y^2 = x$ એ બિંદુ $\left( {\alpha ,\beta } \right)\,,\,\left( {\beta  > 0} \right)$ અને ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 1$ આગળનો સ્પર્શક હોય તો $a$ = 

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ પરના ક્યાં બિંદુ આગળ આંતરેલ અભિલંબ રેખા $4x -2y-5 = 0$ ને સમાંતર થાય ?