ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરનું બિંદુ $P$ એ દ્રીતીય ચરણમાં એવી રીતે આપેલ છે કે જેથી બિંદુ  $\mathrm{P}$  આગળનો ઉપવલયનો સ્પર્શક એ રેખા $x+2 y=0$ ને લંબ થાય છે. અહી $S$ અને $\mathrm{S}^{\prime}$ એ ઉપવલયની નાભીઓ છે અને $\mathrm{e}$ એ ઉત્કેન્દ્રિતા છે. જો $\mathrm{A}$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ છે તો $\left(5-\mathrm{e}^{2}\right) . \mathrm{A}$ ની કિમંત મેળવો.

જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ આગળ છે એવા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. જો તેની એક નિયામીકા $x = - 4$ હોય,તો $\left( {1,\frac{3}{2}} \right)$ આગળ તેના અભિલંબનું સમીકરણ . . . છે. .

ધારો કે $f(x)=x^2+9, g(x)=\frac{x}{x-9}$ અને $\mathrm{a}=f \circ g(10), \mathrm{b}=g \circ f(3)$. જો $\mathrm{e}$ અને $l$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{\mathrm{a}}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}}=1$ ની અનુક્રમે ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવે, તો $8 \mathrm{e}^2+l^2=$.................

$12$ મી લંબાઈનો સળિયો એવી રીતે ખસે છે કે જેથી તેના અંત્યબિંદુઓ યામાક્ષો પર રહે. $x-$ અક્ષ પરના અંત્યબિંદુથી $3$ મી દૂર આવેલ સળિયા પરના બિંદુ $P$ નો બિંદુગણ શોધો. 

રેખા  $x = at^2 $ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ ને વાસ્તવિક બિંદઓમાં ક્યારે મળે ?

ધારોકે કેન્દ્ર $(1,0)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ હોય તેવા ઊપવલયની પ્રધાન અક્ષ -અક્ષ પર છે જો તેની ગૌણ અક્ષ નાભિઓ પર $60^{\circ}$ ખૂણો આંતરે, તો તેની પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈઓના સરવાળાનો વર્ગ $......$ થાય.