ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ ની નાભિઓ અને  અતિવલય

$\frac{{{x^2}}}{{144}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{81}}\,\, = \,\,\frac{1}{{25}}$ ની નાભીઓ સમાન હોય  તો ${b^2}$ નું મૂલ્ય:

ઉપવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પર બે બિંદુઓ  ${\theta _1}\,$ અને ${\theta _2}$  ની જીવા . .  .  બિંદુ આગળ કાટખૂણે  બનાવે છે. (જો ${\text{tan}}\,\,{\theta _{\text{1}}}\,\tan {\theta _2}\,\, = \,\, - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}$  )

જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક અક્ષો પર $h$ અને $k$ લંબાઈનો અંત:ખંડ કાપે, તો.....

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ ની નાભિલંબના અત્યબિંદુએ દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ............... $\mathrm{sq. \, units}$ મેળવો.   

$15$ સેમી લંબાઈનો સળિયો $AB$ યામાક્ષો પર એ રીતે મૂકેલ છે કે અંત્યબિંદુ $A$ $x-$ અક્ષ પર અને $B$ $y -$ અક્ષ પર રહે. સળિયા પર $ P(x, y)$ બિંદુ એ રીતે લીધેલ છે કે $AP = 6$ સેમી હોય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુગણ ઉપવલય છે. 

જો અતિવલય એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{25}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{16}}\,\, = \,\,1$ ના નાભિકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય અને તેની મુખ્ય  અને અનુબદ્ધ અક્ષોએ  ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષને સમાન હોય, અને ઉત્કેન્દ્રાઓનો ગુણાકાર $1,$ હોય, તો .......