અનુપ્રસ્થ અક્ષોની લંબાઈ 2 sin θ ધરાવતો અત

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

medium

અનુપ્રસ્થ અક્ષોની લંબાઈ $2\ sin\ \theta$ ધરાવતો અતિવલય, એ ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ સાથે સમનાભિ હોય, તો તેનું સમીકરણ.....

A

$x^2cosec^2\theta - y^2sec^2\theta = 1$

B

$x^2sec^2\theta - y^2cosec^2\theta = 1$

C

$x^2sin^2\theta - y^2cos^2\theta = 1$

D

$x^2cos^2\theta - y^2sin^2\theta = 1$

Solution

આપેલો ઉપવલય ${\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\,\, + \;\,4{y^2}\,\, = \,\,12$

$\therefore \,\,{a^2}\,\, = \,\,4\,\,\,\,{b^2}\,\, = \,\,3$

$\therefore \,\,e\,\, = \,\,\sqrt {1\,\, – \,\,\frac{3}{4}} \,\,\, \Rightarrow \,\,e\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,$

$\therefore \,$ તેનું નાભિકેન્દ્ર $\left( { \pm \,1,\,\,0} \right)$ થશે.

જ્યારે અતિવલય એ આપેલા ઉપવલય ને સમાનભિય હોય , તેથી $ \pm \,\,ae\,\, = \,\, \pm 1,\,\,$ પરંતુ $a\,\, = \,\,\sin \,\theta $ આપેલ છે.

$\therefore \,\,e\,\, = \,\,\frac{1}{{\sin \,\,\theta }},$ હવે ${b^2}\,\, = \,\,{a^2}\,\,\left( {{e^2}\,\, – \,\,1} \right)$

${b^2}\, = \,\,{\sin ^2}\,\,\theta \,\,\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}\,\, \Rightarrow \,\,{b^2}\,\, = \,\,{\cos ^2}\theta $

આથી માંગેલું સમીકરણ $ :\,\,\frac{{{x^2}}}{{{{\sin }^2}\theta }}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{{\cos }^2}\,\,\theta }}\,\, = \,\,1$

$\, \Rightarrow \,\,{x^2}\,\cos e{c^2}\theta \,\, – \,\,{y^2}\,{\sec ^2}\theta \,\, = \,\,1$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

ઉપવલયો $E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$ ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય $E_k$ ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે $C_K$ છે.જો $r_k$ એ વર્તુળ $C_k$ ની ત્રિજ્યા હોય, તો $\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$ નું મૂલ્ય $……..$ છે.

normal

(JEE MAIN-2023)

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,1$ની નાભિઓમાંથી પસાર થતાં અને $(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તૂળની ત્રિજ્યા =

medium

જો ઉપવલયને વર્તૂળ ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ ના વ્યાસને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે અને વર્તૂળ ${x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 4$ ના વ્યાસને અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે.જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષો યામાક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

medium

(AIEEE-2012)

ધારોકે કેન્દ્ર $(1,0)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ હોય તેવા ઊપવલયની પ્રધાન અક્ષ -અક્ષ પર છે જો તેની ગૌણ અક્ષ નાભિઓ પર $60^{\circ}$ ખૂણો આંતરે, તો તેની પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈઓના સરવાળાનો વર્ગ $……$ થાય.

hard

(JEE MAIN-2023)

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ના બિંદુ $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક યામાક્ષોને $A$ અને $B$ બિંદુઓ આગળ છેદે છે. તો $\Delta OAB$ નું ન્યૂનત્તમ ક્ષેત્રફળ મેળવો.

medium