ધારોકે કેન્દ્ર $(1,0)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ હોય તેવા ઊપવલયની પ્રધાન અક્ષ -અક્ષ પર છે જો તેની ગૌણ અક્ષ નાભિઓ પર $60^{\circ}$ ખૂણો આંતરે, તો તેની પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈઓના સરવાળાનો વર્ગ $......$ થાય.

ઉપવલયની નાભિ ઊગમબિંદુ હોય તથા નિયામિકા $x=4$  અને $e = \frac{1}{2}$ , તો અર્ધ પ્રધાન અક્ષની લંબાઇ મેળવો.

જો $OB$ એ ઉપવલયની અર્ધ ગૌણ અક્ષ, $F_1$ અને $F_2$ એ નાભીઓ અને $F_1B$ અને $F_2B$ વચ્ચેનો ખૂણો કાટકોણ હોય તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્ર્તાનો વર્ગ કેટલો થાય ?

જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ એ પ્રધાન અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય, તો

શાંકવ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,$ ને રેખા $x\cos \alpha \,\, + \,y\sin \,\alpha \,\, = \,p\,\,$ ક્યારે સ્પર્શશે?

ઉપવલય $\mathrm{E}$ ની અક્ષોએ કાર્તેઝિય અક્ષોને સમાંતર છે અને કેન્દ્ર $(3,-4)$ અને એક નાભી $(4,-4)$ અને એક શિરોબિંદુ $(5,-4)$ આપેલ છે. જો $m x-y=4, m\,>\,0$ એ ઉપવલય  $\mathrm{E}$ નો એક સ્પર્શક હોય તો $5 \mathrm{~m}^{2}$ ની કિમંત મેળવો.