જો ઉપવલયને વર્તૂળ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ ના વ્યાસને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે અને વર્તૂળ ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$ ના વ્યાસને અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે.જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષો યામાક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો.

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથ કેવો હોય ?

એક માણસ રમતના મેદાનમાં અંકિત કેડી પર એવી રીતે દોડે છે કે જેથી બે ધજાના દંડાના અંતરનો સરવાળો અચળ $10$ મી રહે છે. જો બંને ધજાના દંડા વચ્ચેનું અંતર $8$ મી હોય, તો માણસના ગતિમાર્ગનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ $P$ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા, વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $\mathrm{Q}$ માં એવી રીતે મળે છે કે જેથી $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}, x$-અક્ષની એકન બાજુએ આવે છે. તો $\mathrm{P}$ ઉપવલય પર ગતિ કરે ત્યારે $\mathrm{PQ}$ પરના, $\mathrm{PR}: \mathrm{RQ}=4: 3$ થાય તેવા બિંદુ $\mathrm{R}$ ના બિંદુપથની ઉત્કેન્દ્રતા........................ છે . 

આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધોઃ  કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ, પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર હોય અને બિંદુઓ $(3, 2)$ અને $(1, 6)$ માંથી પસાર થાય. 

ઉપવલય ${x^2} + 2{y^2} = 2$ ના બહારના બિંદુથી ઉપવલય પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકોએ અક્ષો પર કપાયેલ અંત:ખંડના મધ્યબિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો.