ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી રેખા તેના સહાયક વૃતને બિંદુ $M$ આગળ સ્પર્શેં છે તો $A, M$ અને ઉગમ બિંદુ $O$ આગળ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ-

$x-$ અક્ષ મુખ્યઅક્ષ અને ઉંગમબિંદુ કેન્દ્ર હોય તેવા ઉપવલયને ધ્યાનમાં લો. જો તેની ઉત્કેન્દ્ર્તા $\frac{3}{5}$ અને નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ હોય તો ઉપવલયના શિરોબિંદુઓથી રચાતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ચો.એકમમાં મેળવો. 

જો ઉપવલયની નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને નિયમિકા વચ્ચેનું અંતર $12$ તો નાભીલંભની લંબાઈ મેળવો.

પ્રથમ ચરણમાં રેખા $y=m x$ અને ઉપવલય $2 x^{2}+y^{2}=1$ બિંદુ $\mathrm{P}$ આગળ છેદે છે . જો બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંભ અક્ષોને $\left(-\frac{1}{3 \sqrt{2}}, 0\right)$ અને $(0, \beta)$ આગળ છેદે છે તો $\beta$ મેળવો.

ઉપવલયની ઉકેન્દ્રિતા $\frac{1}{2}$ અને એક નાભિના યામ $P\left( {\frac{1}{2},\;1} \right)$  છે.જો બિંદુ $P$ ની નજીકની એક નિયામીકા એ વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = 1$ અને અતિવલય ${x^2} - {y^2} = 1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક બને છે ,તો ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ મેળવો.

જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા અક્ષો યામાક્ષો પર હૉય અને બિંદુ $(4,-1)$ અને $(-2, 2)$ માંથી પસાર થતાં હોય તેવા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.