જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા અક્ષ?

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

જેનું કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તથા અક્ષો યામાક્ષો પર હૉય અને બિંદુ $(4,-1)$ અને $(-2, 2)$ માંથી પસાર થતાં હોય તેવા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.

A

$\frac{1}{2}$

B

$\frac{2}{{\sqrt 5 }}$

C

$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

D

$\frac{{\sqrt 3 }}{4}$

(JEE MAIN-2017)

Solution

Centre at $(0,0)$

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

at point $(4,-1)$

$\frac{{16}}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1$

$16{b^2} + {a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,…….\left( i \right)$ at point $(-2,2)$

$\frac{4}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1$

$4{b^2} + {a^2} = {a^2}{b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,…….\left( {ii} \right)$

$ \Rightarrow 16{b^2} + {a^2} = 4{b^2} + {a^2}$

From equation $(i)$ and $(ii)$

$ \Rightarrow 3{a^2} = 12{b^2}$

$ \Rightarrow \boxed{{a^2} = 4{b^2}}$

${b^2} = {a^2}\left( {1 – {e^2}} \right)$

${e^2} = \frac{3}{4}$

$e = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

ધારોકે $P \left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), Q , R$ અને $S$ એ ઉપવલય $9 x^2+4 y^2=36$ પરના ચાર બિંદુઓ છે.ધારોકે $PQ$ અને $RS$ પરસ્પર લંબ છે તથા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.જો $\frac{1}{(P Q)^2}+\frac{1}{(R S)^2}=\frac{p}{q}$,જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે, તો $p+q=………$

hard

(JEE MAIN-2023)

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ પરના ક્યાં બિંદુ આગળ આંતરેલ અભિલંબ રેખા $4x -2y-5 = 0$ ને સમાંતર થાય ?

hard

(JEE MAIN-2013)

જો ઉપવલય $\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}\,\, + \;\,1}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}\,\, + \;\,2}}\,\, = \,\,1$ ની ઉત્કેન્દ્રીતા $\frac{1}{{\sqrt 6 }}, $ હોય, તો ઉપવલય નો નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.

medium

અહી $S=\left\{(x, y) \in N \times N : 9(x-3)^{2}+16(y-4)^{2} \leq 144\right\}$ અને $\quad T=\left\{(x, y) \in R \times R :(x-7)^{2}+(y-4)^{2} \leq 36\right\}$ હોય તો $n ( S \cap T )$ ની કિમંત $……$ થાય.

hard

(JEE MAIN-2022)

અહી ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{\sqrt{3}} $ આપેલ છે . જો વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E$ ની નાભી $\mathrm{F}(\alpha, 0), \alpha>0$ હોય અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે . વર્તુળએ ઉપવલય $\mathrm{E}$ ને બે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ માં છેદે છે તો $\mathrm{PQ}^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2021)