આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો :  શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 3),$ નાભિઓ $(0,\,±5)$

ધારોકે $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અતિવલય છે, જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ અને નાભીલંબની લંબાઈ $4 \sqrt{3}$ છે. ધારોકે $(\alpha, 6), \alpha>0$ એ $H$ પર છે. જો બિંદુ ( $\alpha, 6)$ ના નાભ્યાંતરોનો ગુણાકાર $\beta$ હોય, તો $\alpha^2+\beta=$…………

રેખાઓ $(\sqrt{3}) k x+ k y-4 \sqrt{3}=0$ અને $\sqrt{3} x-y-4(\sqrt{3}) k =0$ નાં છેદબિંદુનાં બિંદુપથનું સમીકરણ એક શાંકવ છે, જેની ઉત્કેન્દ્ર્તા ………. છે.

ધારો કે $P(a \,sec\, \theta\, , b\, tan \,\theta )$ અને $Q (a\, sec\, \phi ,\, b\, tan\,\phi  ,)$ જ્યાં ,$\theta \,\, + \;\,\varphi \,\, = \,\,\frac{\pi }{2},$ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$, આગળનાં અભિલંબોનું છેદબિંદુ હોય,તો $k = …….$

વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=25$ ની જીવાના મધ્યબિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો કે જે અતિવલય $ \frac{ x ^{2}}{9}-\frac{ y ^{2}}{16}=1$ ની સ્પર્શક થાય.