આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 3),$ નાભિઓ $(0,\,±5)$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 3),$ નાભિઓ $(0,\,±5)$
Vertices $(0,\,\pm 3),$ foci $(0,\,±5)$
Here, the vertices are on the $y-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
since the vertices are $(0,\,\pm 3), a=3$
since the foci are $(0,\,\pm 5), c=5$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore 3^{2}+b^{2}=52$
$\Rightarrow b^{2}=25-9=16$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
Similar Questions
ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.
ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.
- [JEE MAIN 2022]
જો $P$ $(3\, sec\,\theta , 2\, tan\,\theta )$ અને $Q\, (3\, sec\,\phi , 2\, tan\,\phi )$ જ્યાં $\theta + \phi \, = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ ના ભિન્ન બિંદુઓ હોય તો $P$ અને $Q$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનો છેદબિંદુના યામ મેળવો.
જો $P$ $(3\, sec\,\theta , 2\, tan\,\theta )$ અને $Q\, (3\, sec\,\phi , 2\, tan\,\phi )$ જ્યાં $\theta + \phi \, = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ ના ભિન્ન બિંદુઓ હોય તો $P$ અને $Q$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનો છેદબિંદુના યામ મેળવો.
- [JEE MAIN 2014]
જેની નિયામિકા $2x + y = 1$, નાભિકેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ઉત્કેન્દ્રીતા $=\sqrt 3$ હોય, તેવા અતિવલયનું સમીકરણ.....
જેની નિયામિકા $2x + y = 1$, નાભિકેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ઉત્કેન્દ્રીતા $=\sqrt 3$ હોય, તેવા અતિવલયનું સમીકરણ.....
અતિવલય $ \,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\, - 1\,\,$ ની નાભિલંબાઈ:
અતિવલય $ \,\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\, - 1\,\,$ ની નાભિલંબાઈ:
કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર અને નાભિઓ $x-$ અક્ષ પર હોય તેવું એક અતિવલય $H$ ધ્યાને લો. ધારો એ અતિવલય $H$ ને તેના શિરાબિંદુ પર સ્પર્શતું તથા કેન્દ્ર તેની એક નાભિ પર હોય તેવું વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ નાં ક્ષેત્રફળો અનુકુમે $36 \pi$ અને $4 \pi$ હોય, તો $\mathrm{H}$ ના નાભિલંબની લંબાઈ ........... છે.
કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર અને નાભિઓ $x-$ અક્ષ પર હોય તેવું એક અતિવલય $H$ ધ્યાને લો. ધારો એ અતિવલય $H$ ને તેના શિરાબિંદુ પર સ્પર્શતું તથા કેન્દ્ર તેની એક નાભિ પર હોય તેવું વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ નાં ક્ષેત્રફળો અનુકુમે $36 \pi$ અને $4 \pi$ હોય, તો $\mathrm{H}$ ના નાભિલંબની લંબાઈ ........... છે.
- [JEE MAIN 2024]