किसी पिण्ड को पृथ्वी के पष्ठ से ऊर्ध्व

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7.Gravitation

hard

किसी पिण्ड को पृथ्वी के पष्ठ से ऊर्ध्वाधर उपरिमुखी उस वेग से फेंका गया है जो उसे अनन्त तक ले जाने के लिए पर्याप्त है। ऊँचाई $h$ तक पहुँचने में इस पिण्ड द्वारा लिया गया समय सेकण्डो में होगा।

A

$\frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

B

$\sqrt{\frac{2 R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

C

$\frac{1}{3} \sqrt{\frac{R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

D

$\sqrt{\frac{R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

(JEE MAIN-2021)

Solution

Applying energy conservation from $(1)$ to $(2)$

$\frac{1}{2} m_{.}\left(\frac{2 G M}{R_{e}}\right)-\frac{G M m}{R_{e}}=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{G M m}{R+r}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{G M m}{R+r}$

$\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2 G M}{R+r}}=\frac{d r}{d t}$

$\Rightarrow \sqrt{2 G M} \int_{0}^{t} d t=\int_{R_{e}}^{R_{e}+h}(\sqrt{R+r}) d r$

$\sqrt{2 G M} \cdot t=\frac{2}{3}\left[(R+r)^{3 / 2}\right]_{R_{e}}^{R_{e}+h}$

$t=\frac{2}{3} \sqrt{\frac{R_{e}^{3}}{2 G M}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

$\frac{G M}{R_{e}^{2}}=g$

$t=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 R_{e}}{g}}\left[\left(1+\frac{h}{R_{e}}\right)^{3 / 2}-1\right]$

Standard 11

Physics

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