एक बंदूक से गोली दागी जाती है, यदि बन्दूक पीछे की ओर गति करने हेतु स्वतंत्र हो, तब बन्दूक की गतिज ऊर्जा होगी

दो वस्तुयें जिनके द्रव्यमान $m$ व $4 \,m$ हैं, समान गतिज ऊर्जाओं से गतिमान हैं। इनके रेखीय संवेगों का अनुपात है

$200$ ग्राम द्रव्यमान की एक वस्तु पृथ्वी से $200$ मीटर की ऊँचाई से छोड़ी जाती है, पृथ्वी की सतह के संपर्क में आने के क्षण इसकी सम्पूर्ण स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में रूपांतरित हो जाती है। इसकी स्थितिज ऊर्जा में होने वाली कमी ……….. $\mathrm{J}$ होगी  $(g = 10\,m/{s^2})$

त्रिज्या $R$ वाले घर्षण-रहित र्थिर अवतल पृष्ठ पर $m$ द्रव्यमान वाला एक ब्लॉक सरक (sliding) रहा है। स्थिर अवस्था में ब्लॉक को बिन्दु $P$ से छोड़ा जाता है जो निम्नतम बिन्दु $Q$ से ऊंचाई $H < R$ पर है ।

$(a)$ बिन्दु $Q$ पर स्थितिज ऊर्जा को मानक (reference level) मानते हुए, $\theta$ के फलन के रूप में स्थितिज ऊर्जा क्या होगी? ($1$ अंक)

$(b)$ $\theta$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा क्या होगी? ($1$ अंक)

$(c)$ $P$ से निम्नतम बिन्दु $Q$ तक पहुंचने के लिए कण को कितना समय लगेगा ? ($2$ अंक )

$(d)$ अवतल पृष्ट के बिन्दु $Q$ पर ब्लॉक कितना बल लगाता है ? ($1$ अंक)

$200$ किग्रा व $300 $ किग्रा के दो डिब्बों को जो क्षैतिज पटरियों पर स्थित हैं, एक-दूसरे से दूर हटाया जा रहा है। पटरियों और डिब्बों के बीच लगने वाला घर्षण दोनों के लिये समान है। यदि $200$ किग्रा वाला डिब्बा $36$ मी की दूरी चल कर रुक जाये तो $300$ किग्रा वाले डिब्बे के द्वारा चली गई दूरी  …….. $m$ होगी