$2$ किग्रा द्रव्यमान के एक पिण्ड का $x$ अक्ष के अनुदिश वेग $3$ मीटर/सेकण्ड है इस पर $y$ अक्ष के अनुदिश $4$ न्यूटन का बल लगा है। $4$ सेकण्ड पश्चात् पिण्ड की मूलबिंदु से दुरी होगी

घर्षणहीन वक्र सतह वाली एक स्लाइड (slide), जो कि अपने निचले सिरे पर क्षैतिज हो जाती है, जमीन से $3 h$ ऊँचे एक भवन की छत पर स्थित है (चित्र देखें)। $m$ द्रव्यमान की एक गोलाकार गेंद को स्लाइड पर तथा छत की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु से विरामावस्था से छोड़ा जाता है। स्लाइड को गेंद $\vec{u}_0=u_0 \hat{x}$ वेग से छोड़ती है और जमीन पर भवन से $d$ दूरी पर क्षेतिज से $\theta$ कोण बनाते हुए टकराती है। वह जमीन से $\overrightarrow{ v }$ वेग से उछलकर अधिकतम ऊँचाई $h_1$ तक जाती है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ है तथा जमीन का प्रत्यवस्थान गुणांक (coefficient of restitution) $1 / \sqrt{3}$ है। निम्न में से कौन सा(से) कथन सही है(हैं)?

($AV$) $\vec{u}_0=\sqrt{2 g h} \hat{x}$ ($B$) $\vec{v}=\sqrt{2 g h}(\hat{x}-\hat{z})$  ($C$) $\theta=60^{\circ}$  ($D$) $d / h_1=2 \sqrt{3}$

एक गेंद क्षैतिज वेग $\mathrm{u}$ से सीढ़ी के रास्ते से शिखर से लुढ़कती है। एक सीढ़ी की ऊँचाई $0.1 \mathrm{~m}$ तथा चौड़ाई $0.1 \mathrm{~m}$ है। गेंद का न्यूनतम वेग $\mathrm{u}$, जिससे वह पाँचवी सीढ़ी पर टकराती है, $\sqrt{\mathrm{x}} \mathrm{ms}^{-1}$ होगा। जहाँ ${x}$=. . . . . हैं। [दिया है, $\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ]

एक गेंद को भूमि (ground) पर क्षैतिज तल (horizontal surface) से $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित (projected) किया जाता है। गेंद $120 \ m$ की अधिकतम ऊंचाई पर पहुँच कर भूमि पर वापस लौट आती है। भूमि से पहली बार टकराने के उपरांत गेंद की गतिज ऊर्जा (kinetic energy) आधी हो जाती है। टकराने के तुरंत बाद गेंद का वेग क्षैतिज तल से $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। टकराने के बाद गेंद ........... मीटर की अधिकतम ऊंचाई पर पहुँचती है।

एक हवाई जहाज $600$ किमी/घंटा के क्षैतिज वेग से, पृथ्वी से $1960$ मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। जब यह पृथ्वी पर स्थित बिन्दु $A$ के ठीक ऊपर है, तब इससे एक बम छोड़ा जाता है। यह बम पृथ्वी पर $B$ बिन्दु पर गिरता है। पृथ्वी पर $A$ व $B$ बिन्दुओं की बीच की दूरी होगी

क्षैतिज तल पर एक बन्दूक की अधिकतम परास $16$ किमी. है। यदि $g = 10\,m/{s^2}$ है, तो गोली का प्रक्षेपण वेग ....... $m/s$ होना चाहिये