एक वृत्त जिसका केन्द्र (2,3) है तथा त्रिज?

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10-1.Circle and System of Circles

hard

एक वृत्त जिसका केन्द्र $(2,3)$ है तथा त्रिज्या $4$ है, रेखा $\mathrm{x}+\mathrm{y}=3$ को बिंदुओं $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ पर काटता है। यदि $P$ तथा $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु $S(\alpha, \beta)$ पर मिलती हैं तो $4 \alpha-7 \beta$ बराबर है___________.

A

$11$

B

$10$

C

$80$

D

$90$

(JEE MAIN-2023)

Solution

The given line is polar or $P (2, \beta)$ w.r.t. given circle

$x^2+y^2-4 x-6 y-3=0$

Chord or contact

$\alpha x+\beta y-2(x+\alpha)-3(y+\beta)-3=0$

$\Rightarrow(\alpha-2) x+(\beta-3) y-(2 \alpha+3 \beta+3)=0$

$\because$ But the equation of chord of contact is given

as : $x+y-3=0$

comparing the coefficients

$\frac{\alpha-2}{1}=\frac{\beta-3}{1}=-\left(\frac{2 \alpha+3 \beta+3}{-3}\right)$

On solving $\alpha=-6$

$\beta=-5$

Now $\quad 4 \alpha-7 \beta=11$

Standard 11

Mathematics

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