- Home
- Standard 11
- Mathematics
એક અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઇ $\sqrt{2}$ છે તથા અતિવલય અને ઉપવલય $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ બંનેની નાભી સરખી હોય તો નીચેનામાંથી ક્યાં બિંદુમાંથી અતિવલય પસાર ન થાય
$\left(1,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$
$\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$
Solution
Ellipse $: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
eccentricity $=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$
$\therefore$ foci $=(\pm 1,0)$
for hyperbola, given $2 a =\sqrt{2} \Rightarrow a =\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \quad$ hyperbola will be
$\frac{x^{2}}{1 / 2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
eccentricity $=\sqrt{1+2 b^{2}}$
$\therefore$ foci $=\left(\pm \sqrt{\frac{1+2 b^{2}}{2}}, 0\right)$
Ellipse and hyperbola have same foci
$\Rightarrow \sqrt{\frac{1+2 b^{2}}{2}}=1$
$\Rightarrow \quad b^{2}=\frac{1}{2}$
$\therefore$ Equation of hyperbola $: \frac{x^{2}}{1 / 2}-\frac{y^{2}}{1 / 2}=1$
$\Rightarrow x^{2}-y^{2}=\frac{1}{2}$
Clearly $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ does not lie on it.
