एक महिला अपने $6$ अतिथियों को रात्रिभोज पर आमंत्रित करती है, वह $10$ मित्रों में से उन अतिथियों को कुल कितने प्रकार से आमंत्रित कर सकती है, जबकि कोई दो मित्र एक साथ रात्रिभोज में न आयें

$\sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{10}\\i\end{array}}\right)} \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{20}\\{m - i}\end{array}}\right)$,$\left({tcfd\,\left({\begin{array}{*{20}{c}}p\\q\end{array}} \right)\, = 0\,\,;fn\,\,p < q} \right)$ का योग होगा

$6$ व्यंजन व $5$ स्वरों से $4$ व्यंजन एवं $3$ स्वरों के कुल कितने शब्द बनाये जा सकते हैं

$9$ लड़के और $4$ लड़कियों से $7$ सदस्यों की एक समिति बनानी हैं यह कितने प्रकार से किया जा सकता है, जबकि समिति में अधिकतम $3$ लडकियाँ हैं ?

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं जिन पर $6$ आदमियों को बैठाया जाना है, जिनमें से एक मेहमान है जिसके लिए विशेष कुर्सी निश्चित है, तो वे कुल कितने प्रकार से बैठ सकते हैं

कोटि $3 \times 3$ के आव्यूहों, जिनके अवयव या तो 0 या 1 हैं तथा सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या है, की संख्या है $..............$