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एक अतिभारी ब्लैक होल (black hole), जिसका द्रव्यमान $m$ एवं त्रिज्या $R$ है, $\omega$ कोणीय वेग से चक्रण (spin) कर रहा है । यदि इसके द्वारा गुरूत्वीय तरंग (gravitational waves) के रूप में' विकिरित शक्ति $P$ का मान $P=G c^{-5} m^x R^y \omega^z$ है, जहाँ $c$ एवं $G$ क्रमशः प्रकाश का निर्वात में चाल और सार्वत्रिक गुरूत्वीय नियतांक है, तो
$x=-1, y=2, z=4$
$x=1, y=1, z=4$
$x=-1, y=4, z=4$
$x=2, y=4, z=6$
Solution
$(d)$ Given, $P=G c^{-5} m^{x} R^{y} \omega^{z} \quad \ldots (i)$
Here, dimensions of various physical quantities are
Angular speed, $\omega=\left[ T ^{-1}\right]$
Power, $P=\left[ ML ^{2} T ^{-3}\right]$
Mass, $m=[ M ]$
Radius, $R=[ L ]$
Speed, $c=\left[ LT ^{-1}\right]$
Universal gravitational constant,
$G=\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]$
Substituting dimensions in Eq. $(i)$, we have
${\left[ ML ^{2} T ^{-3}\right]=} {\left[ M ^{-1} L ^{3} T ^{-2}\right]\left[ L ^{-5} T ^{5}\right][ M ]^{x} }$
${\left[ L ^{y}\left[ T ^{-z}\right]\right.}$
Equating dimensions of same quantity, we get
$1=-1+x \Rightarrow x=2$
$2=3-5+y \Rightarrow y=4$
$-3=-2+5-z \Rightarrow z=6$
