એક વાંદરો લપસણા થાંભલા પર ત્રણ સેકન્ડ સુધી ઉપર ચઢે છે અને ત્યારબાદ ત્રણ સેકન્ડ સુધી લપસીને નીચે આવે છે $t$ સમયે તેનો વેગ $v (t) = 2t \,(3s -t)$ ;  $0 < t < 3$ અને $v(t) =\,-\, (t -3)\,(6 -t)$ ; $3 < t < 6$ $m/s$ છે. તો $20\, m$ ઊંચાઈ સુધી આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરે છે, તો

$(a)$ કયા સમયે તેનો વેગ મહત્તમ હશે ?

$(b)$ કયા સમયે તેનો સરેરાશ વેગ મહત્તમ હશે ?

$(c)$ તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય કયા સમયે મહત્તમ હશે ?

$(d)$ ટોચ પર પહોંચવા તેણે કેટલી વાર આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કર્યું હશે ? 

$\frac{d v}{d t}=0$

$v(t)=2 t(3-t)$

$\therefore v(t)=6 t-2 t^{2}$

$\therefore \frac{d v(t)}{d t}=6-4 t$

$\therefore a(t)=6-4 t$

$(a)$ જ્યારે વેગ મહત્તમ હોય ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય

$0=6-4 t \quad(\because$ સમી. $(2)$ પરથી)

$\therefore 4 t=6$

$\therefore t=\frac{3}{2} s$

(b)સમી.$(1)$ પરથી,

$v(t)=6 t-2 t^{2}$

$\therefore \frac{d x(t)}{d t}=6 t-2 t^{2}$

$\therefore d x(t)=\left(6 t-2 t^{2}\right) d t$

$t=0$ થી $t=3 s$ દરમિયાન કાપેલ અંતર. શોધવા સંકલન કરવું પડે.

$\therefore S _{1}=\int_{0}^{3}\left(6 t-2 t^{2}\right) d t$

$=\left[\frac{6 t^{2}}{2}-\frac{2 t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\left[3 t^{2}-\frac{2 t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}$

$=\left[3 \times(3)^{2}-\frac{2 \times(3)^{3}}{3}\right]$

$=[27-18]$

$S _{1}=9 m$

હવે સરેરાશ મહત્તમ વેગ $\langle v\rangle=\frac{ S _{1}}{t}=\frac{9}{3}=3 ms ^{-1}$

$v(t)=6 t-2 t^{2} \quad(\because$ સમી. $(1)$ પરથી)

$3=6 t-2 t^{2}$

$\therefore 2 t^{2}-6 t+3=0$ જે $t$ નું વર્ગાત્મક સમીકરણ છે.

$\therefore a=2, b=-6, c=3$

$\therefore D =b^{2}-4 a c=36-4 \times 2 \times 3$

$=36-24$

$=12$

$\therefore \sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$