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मूलबिन्दु से खींची गयी सरल रेखायुग्म एक अन्य रेखा $2x + 3y = 6$ के साथ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाती है, तो सरल रेखाओं के समीकरण एवं इस प्रकार प्राप्त त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा
$x - 5y = 0$; $5x + y = 0$; $\Delta = \frac{{36}}{{13}}$
$3x - y = 0$ ; $5x + y = 0$$x + 3y = 0$ ; $\Delta = \frac{{36}}{{13}}$$\Delta = \frac{{12}}{{17}}$
$5x - y = 0$ ; $x + 5y = 0$ ; $\Delta = \frac{{13}}{5}$
इनमें से कोई नहीं
Solution
(a) $y = mx$. यह $2x + 3y = 6$ से $ \pm {45^o}$ का कोण बनाती है।
$\tan ( \pm {45^o}) = \frac{{m – ( – 2/3)}}{{1 + m( – 2/3)}} = \pm 1$
या $3m + 2 = \pm (3 – 2m)$$ \Rightarrow m = \frac{1}{5}, – 5$
अत: भुजाएँ
$x – 5y = 0,$
$5x + y = 0$
व $2x + 3y = 6$ हैं।
युग्म में हल करने पर बिन्दु $(0,\,0)$, $\left( {\frac{6}{{13}},\frac{{30}}{{13}}} \right)\,,\left( {\frac{{30}}{{13}}, – \frac{6}{{13}}} \right)$ प्राप्त होते हैं
अत:, $\Delta = \left| {\frac{1}{2}({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{{936}}{{169}} = \frac{{36}}{{13}}$.
