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किसी समान्तर पट्टिका संधारित्र, जिसकी पट्टिकाओं का क्षेत्रफल ' $A$ ' तथा पट्टिकाओं के बीच पथकन ' $d$ ' है में कोई परावैधुत पदार्थ भरा है। इस संधारित्र की धारिता क्या होगी जबकि परावैधुत पदार्थ की विधुतशीलता/ परावैघुतांक में विचरण नीचे दिए अनुसार हो रहा है :
$\varepsilon( x )=\varepsilon_{0}+ kx$, जबकि $\left(0< x \leq \frac{ d }{2}\right)$
$\varepsilon( x )=\varepsilon_{0}+ k ( d - x )$, जबकि $\left(\frac{ d }{2} \leq x \leq d \right)$
$0$
$\frac{{kA}}{2 \ln \left(\frac{2 \varepsilon_{0}+{kd}}{2 \varepsilon_{0}}\right)}$
$\left(\varepsilon_{0}+\frac{{kd}}{2}\right)^{2 / / {kA}}$
$\frac{{kA}}{2} \ln \left(\frac{2 \varepsilon_{0}}{2 \varepsilon_{0}-{kd}}\right)$
Solution
Taking an element of width $dx$ at a distance $x(x < d / 2)$ from left plate
$dC =\frac{\left(\varepsilon_{0}+ kx \right) A }{ dx }$
Capacitance of half of the capacitor
$\frac{1}{C}=\int_{0}^{ d / 2} \frac{1}{ dc }=\frac{1}{ A } \int_{0}^{ d / 2} \frac{ dx }{\varepsilon_{0}+ kx }$
$\frac{1}{ C }=\frac{1}{ kA } \ln \left(\frac{\varepsilon_{0}+ kd / 2}{\varepsilon_{0}}\right)$
Capacitance of second half will be same
$C _{\text {eq }}=\frac{ C }{2}=\frac{ kA }{2 \ln \left(\frac{2 \varepsilon_{0}+ kd }{2 \varepsilon_{0}}\right)}$
