M द्रव्यमान के एक बिन्दु आवेश q को ell लम्?

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2. Electric Potential and Capacitance

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$m$ द्रव्यमान के एक बिन्दु आवेश $q$ को $\ell$ लम्बाई की एक डोरी द्वारा ऊर्ध्वाधर रूप से लटकाया जाता है। अब द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{ p }$ के एक बिन्दु द्विध्रुव को अनन्त से $q$ की ओर इस प्रकार लाया जाता है कि आवेश दूर गति करता है। द्विध्रुव की दिशा, कोणों तथा दूरियों सहित निकाय की अन्तिम साम्य स्थिति नीचे चित्र में दर्शायी गई है। यदि द्विध्रुव को इस स्थिति तक लाने में किया गया कार्य $N \times( mgh )$ है, जहाँ $g$ गुरूत्वीय त्वरण है, जब $N$ का मान. . . . . . . है। (ध्यान दीजिये की बिन्दु द्रव्यमान को साम्यावस्था में बनाए रखते हुए तीन समतलीय बलों के लिए, $\frac{ F }{\sin \theta}$ सभी बलों के लिए समान है, जहाँ $F$ कोई एक बल है तथा $\theta$ अन्य दो बलों के मध्य कोण है।)

$0$

$1$

$2$

$3$

(IIT-2020)

Solution

$U _{ i }=0$

$U _{ f }=\frac{ kq P }{\left(2 \ell \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}+ mgh$

Now, from $\triangle OAB$

$\alpha+90-\theta+90-\theta=180$

$\Rightarrow \alpha=2 \theta$

From $\triangle ABC : h =2 \ell \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \theta$

$h =2 \ell \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\Rightarrow h =2 \ell \sin ^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Now charge is in equilibrium at point $B$.

So, using sine rule

$\Rightarrow \frac{ mg }{\sin \left[90+\frac{\alpha}{2}\right]}=\frac{ qE }{\sin [180-2 \theta]}$

$\Rightarrow \frac{ mg }{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{ qE }{\sin 2 \theta}$

$\Rightarrow \frac{ mg }{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{ qE }{\sin \alpha} \Rightarrow \frac{ mg }{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{ qE }{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}$

$\Rightarrow qE = mg 2 \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\Rightarrow \frac{ q 2 lq }{\left[2 \ell \sin \frac{\alpha}{2}\right]^3}= mg 2 \sin $$\left(\frac{\alpha}{2}\right) \Rightarrow \frac{ kpq }{\left[2 \ell \sin \frac{\alpha}{2}\right]^2}= mg \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) \times\left(2 \ell \sin \frac{\alpha}{2}\right)$

$\Rightarrow \frac{ kpq }{\left[2 \ell \sin \frac{\alpha}{2}\right]^2}= mgh \Rightarrow \operatorname{substituting~this~in~equation~(i)~}$

$\Rightarrow U$

$W =\Delta U = Nmgh = N =2$

Standard 12

Physics