चूँकि $(2n + 1)$ पुस्तकों में से विद्यार्थी अधिकतम $ n$ पुस्तकों का चयन कर सकता है, इसलिये एक पुस्तक के चयन हेतु, वह अपनी स्वेच्छा से एक, दो, तीन, ……, $n$ पुस्तकों का चयन कर सकता है, और यदि एक पुस्तक के चयन के कुल प्रकार T हैं तब $T = {\,^{2n + 1}}{C_1} + {\,^{2n + 1}}{C_2} + … + {\,^{2n + 1}}{C_n} = 63$

पुन: द्विपद गुणांकों का योग $=$

$^{2n + 1}{C_0} + {\,^{2n + 1}}{C_1} + {\,^{2n + 1}}{C_2} + ….. + {\,^{2n + 1}}{C_n} + {\,^{2n + 1}}{C_{n + 1}}$

${ + ^{2n + 1}}{C_{n + 2}} + …. + {\,^{2n + 1}}{C_{2n + 1}} = {(1 + 1)^{2n + 1}} = {2^{2n + 1}}$

या $^{2n + 1}{C_0} + 2{(^{2n + 1}}{C_1} + {\,^{2n + 1}}{C_2} + .. + {\,^{2n + 1}}{C_n}){ + ^{2n + 1}}{C_{2n + 1}} = {2^{2n + 1}}$

$1 + 2(T) + 1 = {2^{2n + 1}}$

 $\Rightarrow 1 + T = \frac{{{2^{2n + 1}}}}{2} = {2^{2n}}$

 $\Rightarrow$ $1 + 63 = {2^{2n}} $

$\Rightarrow {2^6} = {2^{2n}}$

$\Rightarrow n = 3$.