लंबाई $L$ एंव द्रव्यमान $M$ की एकसमान पतली छड़ को अधिक घर्षण वाले तल पर लम्बवत रखते है। इसको स्थिर अवस्था में छोड़ने पर यह तल के संपर्क बिन्दु के परितः घूमते हुए बिना फिसले गिरती है। जब यह छड़ ऊर्ध्वाधर से $60^{\circ}$ कोण बनाती है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौनसा/कौनसे सही है (हैं) ?

[ $g$ गुरूत्वीय त्वरण है]

$(1)$ छड़ के द्रव्यमान केन्द्र (center of mass) का त्रिज्य त्वरण (radial acceleration) $\frac{3 g }{4}$ होगा।

$(2)$ छड़ का कोणीय त्वरण $\frac{2 g }{ L }$ होगा।

$(3)$ छड़ की कोणीय गति $\sqrt{\frac{3 g }{2 L }}$ होगी।

$(4)$ तल के लम्बवत छड़ पर प्रतिक्रिया (normal reaction) बल $\frac{ Mg }{16}$ होगा।

किसी घूर्णक (रोटर) की $200\, rad s ^{-1}$ की एकसमान कोणीय चाल बनाए रखने के लिए एक इंजन द्वारा $180$ $N m$ का बल आघूर्ण प्रेषित करना आवश्यक होता है । इंजन के लिए आवश्यक शक्ति ज्ञात कीजिए ।

(नोट : घर्षण की अनुपस्थिति में एकसमान कोणीय वेग होने में यह समाविष्ट है कि बल आघूर्ण शून्य है । व्यवहार में लगाए गए बल आघूर्ण की आवश्यकता घर्षणी बल आघूर्ण को निरस्त करने के लिए होती है ।) यह मानिए कि इंजन की दक्षता $100 \%$ है।

एक गतिपालक चक्र ठोस वृत्तीय पहिये के रूप में है जिसका द्रव्यमान $72$ किग्रा तथा उसकी त्रिज्या $0.5$ मीटर है। यह प्रति मिनट $70$ परिक्रमण करता है, तो इसकी परिक्रमण ऊर्जा ........ $J$ है

एक ठोस गोला एक घर्षणहीन सतह पर रैखिक वेग $ v\;m/s $ से लुढ़क रहा हैं, जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। यदि गोला $h$ ऊँचाई तक ऊपर चढ़ जाता है, तो $v$ का मान होगा

दी गयी अक्ष के परित: किसी पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण $ 1.2kg \times {m^2} $ है तथा प्रारम्भ में पिण्ड स्थिर है। $1500$ जूल की घूर्णी गतिज ऊर्जा उत्पन्न करने के लिए $25$ रेडियन/सै$^2$ के त्वरण को पिण्ड पर ........ $(\sec)$ समय के लिए आरोपित करना होगा

$6$ किग्रा द्रव्यमान एवं $40$ सेमी त्रिज्या का एक पहिया (रिम) $300$ चक्कर प्रति मिनट की दर से घूम रहा है। पहिये के घूर्णन की गतिज ऊर्जा होगी