- Home
- Standard 11
- Physics
लंबाई $L$ एंव द्रव्यमान $M$ की एकसमान पतली छड़ को अधिक घर्षण वाले तल पर लम्बवत रखते है। इसको स्थिर अवस्था में छोड़ने पर यह तल के संपर्क बिन्दु के परितः घूमते हुए बिना फिसले गिरती है। जब यह छड़ ऊर्ध्वाधर से $60^{\circ}$ कोण बनाती है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौनसा/कौनसे सही है (हैं) ?
[ $g$ गुरूत्वीय त्वरण है]
$(1)$ छड़ के द्रव्यमान केन्द्र (center of mass) का त्रिज्य त्वरण (radial acceleration) $\frac{3 g }{4}$ होगा।
$(2)$ छड़ का कोणीय त्वरण $\frac{2 g }{ L }$ होगा।
$(3)$ छड़ की कोणीय गति $\sqrt{\frac{3 g }{2 L }}$ होगी।
$(4)$ तल के लम्बवत छड़ पर प्रतिक्रिया (normal reaction) बल $\frac{ Mg }{16}$ होगा।
$1,2,3$
$1,2,4$
$1,3,4$
$1,2$
Solution
We can treat contact point as hinged.
Applying work energy theorem
$W _{ g }=\Delta K . E .$
$mg \frac{\ell}{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{ m \ell^2}{3}\right) \omega^2$
(image)
$\omega=\sqrt{\frac{3 g }{2 \ell}}$
radial acceleration of $C.M.$ of rod $=\left(\frac{\ell}{2}\right) \omega^2=\frac{3 g }{4}$
Using $\tau= I \alpha$ about contact point
$\frac{ mg \ell}{2} \sin 60^{\circ}=\frac{ m \ell^2}{3} \alpha$
$\Rightarrow \alpha=\frac{3 \sqrt{3}}{4 \ell} g$
Net vertical acceleration of $C.M.$ of rod
$a _2= a _{ r } \cos 60^{\circ}+ a _{ t } \cos 30^{\circ}$
$=\left(\frac{3 g }{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\alpha \frac{\ell}{2}\right) \cos 30^{\circ}$
$=\frac{3 g }{8}+\frac{3 \sqrt{3} g }{4 \ell}\left(\frac{\ell}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$=\frac{3 g }{8}+\frac{9 g }{16}=\frac{15}{16} g$
Applying $F_{\text {not }}= ma$ in vertical direction on rod as system
$mg – N = ma _{ v }= m \left(\frac{15}{16} g \right)$
$N =\frac{ mg }{16}$
(iamage)
