किसी पतली एकसमान छड़ की लम्बाई $2 \mathrm{~cm}$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ' $\mathrm{A}$ ' एवं घनत्व ' $\mathrm{d}$ ' है। इसे $\omega$ कोणीय वेग से एक अक्ष के परितः घुमाया जाता है, जो कि इसके केन्द्र से गुजर रही है एवं इसकी लम्बाई के लम्बवत है। इसकी घूर्णन ऊर्जा $\mathrm{E}$ के पदो में, $\omega$ का मान $\sqrt{\frac{\alpha \mathrm{E}}{\mathrm{Ad}}}$ है तो $\alpha$ का मान ___________ होगा।

दो डिस्कों (चक्रिकायों) के जड़त्व आघूर्ण आपस में बराबर हैं। ये अपनी-अपनी नियमित अक्ष, जो इनके समतल के लम्बवत् है और चक्रिका के केन्द्र से होकर गुजरती है के परित: क्रमशः $\omega_{1}$ तथा $\omega_{2}$ कोणीय वेग से घूर्णन कर रही है। इनको एक दूसरे के सम्मूख इस प्रकार सम्पर्क में लाया जाता है कि, इनकी घूर्णन अक्ष संपाती हो जाती हैं। तो, इस प्रक्रम में ऊर्जा-क्षय के लिये व्यंजक होगा:

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, $m$ द्रव्यमान के गोलक को एक द्रव्यमानरहित डोर से लटकाया गया है। डोर को दूसरी ओर एक उपचक्र की त्रिज्या $r$ और द्रव्यमान $m$ है। जब गोलक को विरामावस्था से छोडा जाता है तो यह ऊर्ध्वाधर दिशा में गिरने लगता है। इस प्रकार गिरते हुए जब गोलक $h$ दूरी तय कर ले तो उपचक्र की कोणीय गति होगी।

एक वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $3$ किग्रा-मीटर$^2$ है। यह $2$ रेडियन/सैकण्ड के कोणीय वेग से घूम रही है, तो $12$ किग्रा द्रव्यमान को .......... $m/s$ वेग से गति कराने पर दोनों की गतिज ऊर्जायें समान होंगी

लंबाई $L$ एंव द्रव्यमान $M$ की एकसमान पतली छड़ को अधिक घर्षण वाले तल पर लम्बवत रखते है। इसको स्थिर अवस्था में छोड़ने पर यह तल के संपर्क बिन्दु के परितः घूमते हुए बिना फिसले गिरती है। जब यह छड़ ऊर्ध्वाधर से $60^{\circ}$ कोण बनाती है। तब निम्नलिखित कथनों में से कौनसा/कौनसे सही है (हैं) ?

[ $g$ गुरूत्वीय त्वरण है]

$(1)$ छड़ के द्रव्यमान केन्द्र (center of mass) का त्रिज्य त्वरण (radial acceleration) $\frac{3 g }{4}$ होगा।

$(2)$ छड़ का कोणीय त्वरण $\frac{2 g }{ L }$ होगा।

$(3)$ छड़ की कोणीय गति $\sqrt{\frac{3 g }{2 L }}$ होगी।

$(4)$ तल के लम्बवत छड़ पर प्रतिक्रिया (normal reaction) बल $\frac{ Mg }{16}$ होगा।

एक ठोस गोला $h$ ऊंचाई के नत समतल पर बिना खिबसे घूर्णन गति करता है। उसका कोणीय वेग होगा