પરમાણુ માટેના પ્રારંભિક મોડેલમાં, $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું ધન વિધુતભારિત બિંદુવતુ ન્યુક્લિયસ તેની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યા સુધી નિયમિત ઘનતાના ઋણ વિધુતભાર વડે ઘેરાયેલું છે. સમગ્રપણે પરમાણુ તટસ્થ છે. આ મૉડેલ માટે ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
પરમાણુ માટેના પ્રારંભિક મોડેલમાં, $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું ધન વિધુતભારિત બિંદુવતુ ન્યુક્લિયસ તેની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યા સુધી નિયમિત ઘનતાના ઋણ વિધુતભાર વડે ઘેરાયેલું છે. સમગ્રપણે પરમાણુ તટસ્થ છે. આ મૉડેલ માટે ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
આ મૉડેલ માટે વિદ્યુતભાર વિતરણ આકૃતિ માં દર્શાવ્યા મુજબનું છે. નિયમિત ગોળાકાર વિધુતભાર વિતરણમાં કુલ વિદ્યુતભાર $-Ze$ હોવો જોઈએ, કારણ કે પરમાણુ | ( $Ze$ વિદ્યુતભારનું ન્યુક્લિયસ + ઋણ વિધુતભાર ) તટસ્થ છે. આ પરથી ઋણ વિધુતભાર ધનતા $\rho$ મળી શકે કારણ કે,
$\frac{4 \pi R^{3}}{3} \rho=0-Z e$ થવું જોઈએ.
અથવા $\rho=-\frac{3 Z e}{4 \pi R^{3}}$
ન્યુક્લિયસથી અંતરે રહેલા $P$ બિંદુએ વિધુતક્ષેત્ર $E(r)$ શોધવા માટે, આપણે ગૉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ. $r$ ની દિશા ગમે તે હોય તો પણ વિદ્યુતભાર વિતરણની ગોળીય સંમિતિને લીધે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(r)$ નું માન માત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r$ પર આધારિત છે. તેની દિશા ઉદગમથી $P$ તરફના ત્રિજ્યા સદિશ જ્યની દિશામાં (અથવા તેની વિરૂદ્ધ દિશામાં) છે. સ્વાભાવિક રીતે ગોસિયન સપાટી કેન્દ્ર તરીકે ન્યુક્લિયસની આસપાસ ગોળાકાર સપાટી છે. આપણે બે પરિસ્થિતિઓનો વિચાર કરીએ, $r \,<\, R$ અને $r \,>\, R$.
$(i)$ $r \,<\,R:$ ગોળાકાર સપાટીનું વિદ્યુત ફલક્સ
$\phi=E(r) \times 4 \pi r^{2}$
જ્યાં $E(r)$ એ $r$ આગળના વિદ્યુતક્ષેત્રનું માન છે. આનું કારણ એ છે કે ગોળાકાર ગૉસિયન સપાટી પરના કોઈ પણ બિંદુએ ક્ષેત્રની દિશા સપાટીને લંબની દિશામાં છે અને સપાટી પરના બધાં બિંદુએ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે. ગૉસિયન સપાટી વડે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$, ન્યુક્લિયસનો ધન વિધુતભાર અને $r$ ત્રિજ્યાની અંદરનો ઋણ વિદ્યુતભાર છે.
એટલે કે, $q=z e+\frac{4 \pi r^{3}}{3} \rho$
અગાઉ મેળવેલ વિધુતભાર ઘનતા $\rho$ ને અવેજ કરતાં,
$q=Z e-Z e \frac{r^{3}}{R^{3}}$
આ પરથી ગૉસના નિયમ મુજબ,
$E(r)=\frac{Z e}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}}-\frac{r}{R^{3}} ; r \,<\, R$
વિધુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ છે.
$(ii)$ $r\,>\, R :$ આ કિસ્સામાં ગૉસિયન સપાટી વડે ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે, કારણ કે પરમાણુ તટસ્થ છે. આમ, ગોસના નિયમ પરથી
$E(r) \times 4 \pi r^{2}=0$ અથવા $E(r)=0 ; r\,>\,R$ માટે.
$r= R$ માટે બંને કિસ્સા એકસમાન પરિણામ આપે છે : $E = 0$
Similar Questions
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળની વિજભાર ઘનતા $0 \leq r \leq R$ માટે $\rho = {\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$ મુજબ આપવામાં આવે છે. તો બોલની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળની વિજભાર ઘનતા $0 \leq r \leq R$ માટે $\rho = {\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$ મુજબ આપવામાં આવે છે. તો બોલની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
- [JEE MAIN 2018]
$S(r)\,\, = \,\,\frac{Q}{{\pi {R^4}}}\,r$ એ $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ વાળા એક ધન ગોળાના વિદ્યુતભાર વિતરણની ઘનતા આપે છે. ગોળાના કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે ગોળાની અંદરના બિંદુ $P$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય ....... છે.
$S(r)\,\, = \,\,\frac{Q}{{\pi {R^4}}}\,r$ એ $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ વાળા એક ધન ગોળાના વિદ્યુતભાર વિતરણની ઘનતા આપે છે. ગોળાના કેન્દ્રથી $r_1$ અંતરે ગોળાની અંદરના બિંદુ $P$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય ....... છે.
એક ગોળા પર એકસમાન વિજભાર પથરાયેલ છે તેની વિજભાર ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
$\rho (r)\, = \,{\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$, $r < R$ માટે
$\rho (r)\,=\,0$, $r\, \ge \,R$ માટે
જ્યાં $r$ એ વિજભાર વિતરણના કેન્દ્રથી અંતર અને $\rho _0$ અચળાંક છે. $(r < R)$ ના અંદરના બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
એક ગોળા પર એકસમાન વિજભાર પથરાયેલ છે તેની વિજભાર ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
$\rho (r)\, = \,{\rho _0}\left( {1 - \frac{r}{R}} \right)$, $r < R$ માટે
$\rho (r)\,=\,0$, $r\, \ge \,R$ માટે
જ્યાં $r$ એ વિજભાર વિતરણના કેન્દ્રથી અંતર અને $\rho _0$ અચળાંક છે. $(r < R)$ ના અંદરના બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું મળે?
- [JEE MAIN 2014]
સમાન રીતે ભારીત અવાહક ધનગોળાના વીજક્ષેત્રના ફેરફારને વિવિધ બિંદુઓ આધારીત આલેખીય રીતે દર્શાવી શકાય છે.
સમાન રીતે ભારીત અવાહક ધનગોળાના વીજક્ષેત્રના ફેરફારને વિવિધ બિંદુઓ આધારીત આલેખીય રીતે દર્શાવી શકાય છે.
- [JEE MAIN 2023]
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અંદરની ત્રિજયા $a$ અને બહારની ત્રિજયા $b$ ધરાવતા ગોળીય કવચની અંદર $R$ ત્રિજયા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ધાતુનો ગોળો છે. તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{{E}}$ વિરુદ્ધ તેના કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ સાથેનો ગ્રાફ લગભગ કેવો મળશે?
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અંદરની ત્રિજયા $a$ અને બહારની ત્રિજયા $b$ ધરાવતા ગોળીય કવચની અંદર $R$ ત્રિજયા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ધાતુનો ગોળો છે. તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{{E}}$ વિરુદ્ધ તેના કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $r$ સાથેનો ગ્રાફ લગભગ કેવો મળશે?
- [JEE MAIN 2021]