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एक दीर्घवृत $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{64}=-1$ के शीर्षो से होकर जाता है। माना दीर्घवृत $E$ के दीर्घ तथा लघु अक्ष क्रमशः अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्ष के सम्पाती हैं। माना $E$ तथा $H$ की उत्केन्द्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है। यदि दीर्घवृत $E$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है, तो $113 l$ का मान है $...............$
$1500$
$1552$
$1000$
$1553$
Solution
Hyp : $\frac{y^{2}}{64}-\frac{x^{2}}{49}=1$
An ellipse $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ passes through the vertices of the hyperbola $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$.
$S_{0} b^{2}=64$
$e_{H}=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}=\sqrt{1+\frac{49}{64}}$
Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$e_{E}=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{b^{2}}}=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{64}}$
$b=8, \sqrt{\frac{1-a^{2}}{64}} \times \frac{\sqrt{113}}{8}=\frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{64-a^{2}} \times \sqrt{113}=32$
$\left(64-a^{2}\right)=\frac{32^{2}}{113}$
$\Rightarrow a^{2}=64-\frac{32^{2}}{113}$
$l=\frac{2 a^{2}}{b}=\frac{2}{8}\left(64-\frac{32^{2}}{113}\right)=\frac{1552}{113}$
$113\,l=1552$
