एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता frac{1}{2} और ए | vedclass

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Question

(a) वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ एवं अतिपरवलय ${x^2} - {y^2} = 1$ को हल करने पर स्पर्श बिन्दु $(1, 0)$ एवं $(-1, 0)$ प्राप्त होते हैं।

बिन्दु $(1, 0)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{{{(x - 1/3)}^2}}}{{1/9}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$

Vedclass · Answer

(a) वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ एवं अतिपरवलय ${x^2} - {y^2} = 1$ को हल करने पर स्पर्श बिन्दु $(1, 0)$ एवं $(-1, 0)$ प्राप्त होते हैं।

बिन्दु $(1, 0)$ $P$ के निकट है।

अत: $(1, 0)$ पर वृत्त एवं अतिपरवलय की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $x = 1$ होगी।

अत: दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिन्दु $(x, y)$ के लिये $(x, y)$ की नाभि से दूरी  =e[($x = 1$) की नियता की दूरी

यदि $Q(x,y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु है, तब इसकी नाभि से दूरी

$QP = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{(y - 1)}^2}} $

और इसकी नियता $x = 1$ से दूरी $|x - 1|$ है।

दीर्घवृत्त की परिभाषानुसार,  $QP = e|x - 1|$

$ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{(y - 1)}^2}}  = \frac{1}{2}|x - 1|$

$3{x^2} - 2x + 4{y^2} - 8y + 4 = 0$

or $\frac{{{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2}}}{{1/9}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$.

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