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एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ और एक नाभि बिन्दु $P\left( {\frac{1}{2},\;1} \right)$ है। इसकी एक नियता वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ और अतिपरवलय ${x^2} - {y^2} = 1$ की बिन्दु $P$ के निकट स्थित उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण होगा
$\frac{{{{(x - 1/3)}^2}}}{{1/9}} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$
$\frac{{{{(x - 1/3)}^2}}}{{1/9}} + \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$
$\frac{{{{(x - 1/3)}^2}}}{{1/9}} - \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$
$\frac{{{{(x - 1/3)}^2}}}{{1/9}} - \frac{{{{(y + 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$
Solution
(a) वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ एवं अतिपरवलय ${x^2} – {y^2} = 1$ को हल करने पर स्पर्श बिन्दु $(1, 0)$ एवं $(-1, 0)$ प्राप्त होते हैं।
बिन्दु $(1, 0)$ $P$ के निकट है।
अत: $(1, 0)$ पर वृत्त एवं अतिपरवलय की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $x = 1$ होगी।
अत: दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिन्दु $(x, y)$ के लिये $(x, y)$ की नाभि से दूरी =e[($x = 1$) की नियता की दूरी
यदि $Q(x,y)$ दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु है, तब इसकी नाभि से दूरी
$QP = \sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{(y – 1)}^2}} $
और इसकी नियता $x = 1$ से दूरी $|x – 1|$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषानुसार, $QP = e|x – 1|$
$ \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{(y – 1)}^2}} = \frac{1}{2}|x – 1|$
$3{x^2} – 2x + 4{y^2} – 8y + 4 = 0$
or $\frac{{{{\left( {x – \frac{1}{3}} \right)}^2}}}{{1/9}} + \frac{{{{(y – 1)}^2}}}{{1/12}} = 1$.
